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1、。剪切波的构造Shearlet是一类新的多尺度几何分析方法，该方法通过对基本函数的膨胀、剪切和平移变换来构造，体现了函数的几何和数学特性，如近几年来许多领域的研究学者所强调的函数的方向性、尺度和振荡等。Shearlet可以在广义多分辨率分析的框架中研究，这样就可以获得像小波一样的迭代算法，并推广到经典的级联算法。因此Shearlet变换作为一种新型的多尺度几何分析工具为图像处理领域的研究人员所广泛接受。1、Shearlet及其变换的定义函数f(x)的连续Shearlet变换为：SHf(a,s,t)f,a,s,t（1.1）其中，a,s,t(x)a3/4(A1B1(xt))（
2、1.2）为剪切波函数，aR为尺度参数，sR为剪切参数，tR2为平移参数，a,0;0,a12是各向异性膨胀矩阵，1,s;0,1是剪切矩阵。对任何(1,2)?2,10，令满足R???(2)（1.3）()1(1)21其中，?为a,s,t的傅里叶变换，1为连续小波函数，?1C(R)，supp?154,1414,54，2为bump函数，?2C(R)，supp?21,1，在区间1,1上20且21。由以上定义可得a,s,t(x)的傅里叶变换为?a,s,t34e2it?1a?2a12s2a11显然，剪切波的几何性质在频域上更为直观。由?1和?2的支撑条件很容易看到?a,s,t有如下的频域
3、支撑：suppa,s,t1,2:12,1U1,2,s2/1aa2a2aa由上式可知，在不同尺度，?a,s,t支撑在以原点对称、以s为斜率的梯形对上；改-可编辑修改-。变剪切参数s，支撑区域可获得保持面积不变的旋转；旋转区域由尺度参数a控制，随着a→0，支撑区间逐渐变窄。图1.1给出了(a1,s0),(a1/4,s0),(a1,s3)时的?a,s,t频域支撑。2a=1,s=-31a=1,s=0a=1/4,s=0图1.1不同a和s值时a,s,t的频域支撑连续剪切波变换的平移参数可检测到所有奇异点的位置，而剪切参数则可显示出奇异曲线的方向。2、Shearlet的离散化为了实现剪
4、切波的离散化，令尺度参数aj2jjZ，剪切参数sj,kka12k2j2kZ，以及平移参数tj,k,mDaj,sj,mmZ2。假定?122jw211,w（2.1）j08和2j?22jw122jk1,w11（2.2）k由式（2.1）和式（2.2）可知：对任何1,2C0，有2j1?(0)jk22j12j2j22(A0B0)1(2(2k)1j0k=-2jj0k2j1)21其中，C01,2?2:118,211，如图2.1（a）所示，即函数R(A0jB0k)形成C0的一个剖分，如图2.1（b）所示。由以上的讨论，可知集合-可编辑修改-。(0)3j(0)kjj2j22(Bk2,mZj,
5、k,m(x)240A0xm):j0,2是L2(C0)V{fL2(?2):suppf?C0}得一个紧框架。其中，Α0201101，Β00122由图2.1（b）可以看出，剪切波的每个元素μj,k,m支撑在梯形对上，每一个梯形包含在一个大小近似为2j22j的盒子里，方向沿着斜率为l2j的直线。图2.1（a）水平锥C0和垂直锥C1（b）剪切波的频域剖分图同样可以构造一个L2(C1)V的紧框架，其中，C1是垂直锥C11,2?2218,121。由下式给定R:?(1)()?1(2)?2(1)（2.3）2则集合(1)3j(1)(BkAjx2j22j2,mZ2(x)24m):j0,kj,k
6、,m11110是L2(C1)V的一个紧框架。其中，Α1220，Β1。最后，令L2R20211满足：对任何R2，有-可编辑修改-。?22j122j12?(0)(A0jB0?(1)(A1jB1k)k)1j0k=-2jj0k=-2j上式暗含supp?18,182，且?2=1。因此剪切波集合为m(x)(xm):mZ2U(d)0,2j2k2j2,m2,d0,1j,k,m(x):jZ3、剪切波的主要性质从上述可以看出，剪切波具有以下良好特性：（1）剪切波具有非常好的局部化特性。在上述剪切波的构造中，剪切波在频域内是紧支撑的，并且在空域内具有快速的衰减特性。（2）剪切波满足抛物线尺度化
7、特性。每一个元素?j,k,m支撑在一个梯形对上，且每个梯形对包含在一个大小近似为2j22j的盒子内，如图2.1（b）所示。这是因为剪切波具有非常好的局部化特性，在空域内每个j,k,m本质上支撑在一个大小为2j22j的盒子里面。当j时，元素的支撑区间会逐渐变窄。（3）剪切波体现了非常高的方向敏感性。元素?j,k,m的方向是沿着斜率为l2j的直线。相应的元素j,k,m的方向是沿着斜率为l2j的直线，并且方向的数目随着尺度的不断细化而逐层加倍。（4）剪切波是空域局部化的。对任意固定的尺度和方向，剪切波可以通过在格2上平移来获得。（5
