2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：19利用导数解决函数的零点问题.docx

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1、利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟x＋11．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx－x－1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．[解](1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．12因为f′(x)＝x＋x－12＞0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．＋12＋12－3因为e2)＝2－ee＞0，所以f(x)在(1，＋∞有唯一零＝－＝f(e)1＜0，f

2、(e22)e－1e－1e－1点x1＜1＜2，即1＝又0＜1＜1，f1＝－lnx1＋x1＋1＝－f(x1)＝，故f(x)在(exe)f(x)0.x1x1x1－101(0,1)有唯一零点x1.综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)因为1lnx，故点B－lnx0，1x上．＝e－0x在曲线y＝ex00x0＋1由题设知f(x0)＝0，即lnx0＝，连接AB，则直线AB的斜率x0－111x0＋10x0－x－lnxx－1k＝＝0.＝10－0－x0x0＋1x0lnx－－x0x－1011曲线y＝ex在点B－lnx0，x0处切线的斜

3、率是x0，曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处1x切线的斜率也是x0，所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝e的切线．2．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.71828⋯是自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调区间；1(2)讨论g(x)＝f(x)x－2在区间[0,1]上零点的个数．[解](1)因为f(x)＝ex－ax－1，所以f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a＞

4、0时，令f′(x)＜0，得x＜lna，令f′(x)＞0，得x＞lna，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞)．1(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝2，先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0，所以f(x)在[0,1]上有一个零点；当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以f(x)在[0,1]上有一个零点；当1＜a＜e时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna,1)上单调递增，而f(1)＝e－

5、a－1，当e－a－1≥0，即1＜a≤e－1时，f(x)在[0,1]上有两个零点，当e－a－1＜0，即e－1＜a＜e时，f(x)在[0,1]上有一个零点．11当x＝2时，由f2＝0得a＝2(e－1)，所以当a≤1或a＞e－1或a＝2(e－1)时，g(x)在[0,1]上有两个零点；当1＜a≤e－1且a≠2(e－1)时，g(x)在[0,1]上有三个零点．x223．(2019·唐山模拟)已知函数f(x)＝2－4ax＋alnx＋3a＋2a(a＞0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x，x，当a变化时

6、，求f(x)＋f(x)的最大值．1212ax2－＋a4ax[解](1)函数f(x)的定义域为x＞0，对f(x)求导得f′(x)＝x－4a＋x＝x，x＞0，a＞0.令M(x)＝x2－4ax＋a，则＝16a2－4a＝4a(4a－1)．1①当0＜a≤4时，Δ≤0，M(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＞14时，＞0，f′(x)＝0的根为x1＝2a－4a2－a，x2＝2a＋4a2－a，由f′(x)＞0得0＜x＜2a－4a2－a或x＞2a＋4a2－a；由f′(x)＜0

7、得2a－4a2－a＜x＜2a＋4a2－a.所以f(x)在(0,2a－4a2－a)，(2a＋4a2－a，＋∞)上单调递增；在(2a－4a2－a，2a＋4a2－a)上单调递减．14a2－a，x2＝2a＋4a2－a，(2)由(1)得a＞4，x1＝2a－所以x1＋x2＝4a，x1x2＝a，从而122)－4a(x1＋x2)＋alnx1x2＋6a2122＋4af(x1)＋f(x2)＝2(x1＋x2＋4a＝2(x1＋x2)－x1x2－10a＋alna＝alna－2a2＋3a.令g(a)＝alna－2a2＋3a，则g′(a)＝l

8、na－4a＋4.令h(a)＝lna－4a＋4，1则h′(a)＝a－4.因为1a＞4，所以h′(a)＜0，所以h(a)在14，＋∞上单调递减．又h(1)＝0，所以a∈14，1时，h(a)＞0，g′(a)＞0，g(a)在14，1上单调递增；a∈(1，＋∞)时，h(a)＜0，g′(a)＜0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减，所以a＝1时，g(a)取得最大值1.