高考数学一轮复习课后限时集训19利用导数解决函数的零点问题文北师大版.docx

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1、课后限时集训19利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟1．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[解](1)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋lnx－1＝lnx－.因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln2－＝＞0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当x

2、(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)证明：由(1)知f(x0)0，所以，f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由α>x0>1得＜1＜x0.又f＝ln－－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．2．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值．[解](1)

3、当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，则f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.(2)函数f(x)的图像与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根．令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x.由g′(x)＞0，得x＜－或x＞0；由g′(x)＜0，得－＜x＜0.所以函数g(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．所以当x＝－时，函数g(x)取得极大值g＝＋b；当x＝0时，函数g(x)取得极小值为g(0)＝b

4、.要满足题意，则需g＝＋b＝0或g(0)＝b＝0，所以b＝－或b＝0.3．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论g(x)＝f(x)·在区间[0,1]上零点的个数．[解](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a＞0时，令f′(x)＜0，得x＜lna，令f′(x)＞0，得x＞lna，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间

5、为(lna，＋∞)．(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数，①当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0，∴f(x)在[0,1]上有一个零点．②当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，∴f(x)在[0,1]上有一个零点．③当1＜a＜e时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna,1)上单调递增．而f(1)＝e－a－1，当e－a－1≥0，即1＜a≤e－1时，f(x)在[0,1]上有两个零点；当e－a－1＜0，即e－1＜a＜e时，f(x)在[0,1]上有一个零点．再考虑x＝时，由

6、f＝0，得a＝2(－1)．综上所述，当a≤1或a＞e－1或a＝2(－1)时，g(x)在[0,1]上有两个零点；当1＜a≤e－1且a≠2(－1)时，g(x)在[0,1]上有三个零点.