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1、高等数学II试题一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设zf(x,y)由方程xyyzexz确定，则zx。2．函数u2xy2z3xyz在点P0(0,1,2)沿方向l的方向导数最大。3．L为圆周x2y24，计算对弧长的曲线积分Lx2y2ds=。．已知曲线xt,yt2,zt3P处的切线平行于平面x2yz2，则4点P的坐标为上点或。5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]的定义为f(x)21x0x0x1，则f(x)的傅里叶级数在x1收敛于。二、解答下列各题（每小题7分，共35分）f(x,y)I1dx2xf(x,y)d
2、y1．设连续，交换二次积分011x2的积分顺序。2．计算二重积分Dx2y2dxdy，其中D是由y轴及圆周x2(y1)21所围成的在第一象限内的区域。3．设是由球面z1x2y2与锥面zx2y2围成的区域，试将三重积分If(x2y2z2)dxdydz化为球坐标系下的三次积分。4．设曲线积分L[f(x)ex]ydxf(x)dy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)1，求f(x)。5．求微分方程y2yyex的通解。三、(10分)y2dzdxzdxdy计算曲面积分，其中∑是球面x2y2z24(z0)的上侧。四、(10分)
3、计算三重积分(xyz)dxdydz由zx2y2与z1，其中围成的区域。五、(10分)求zx2y21在y1x下的极值。六、(10分)求有抛物面z1x2y2与平面z0所围立体的表面积。xn1七、(10分)求幂级数n1n3n的收敛区间与和函数。高等数学II试题解答一、填空题（每小题3分，共计15分）zyzexz1．设zf(x,y)由方程xyyzexz确定，则xyxexz。2．函数u2xy2z3xyz在点P0(0,1,2)沿方向l(4,0,-12)的方向导数最大。3．L为圆周x2y24，计算对弧长的曲线积分Lx2y2ds=8。．已知
4、曲线x4t,yt2,zt3上点P处的切线平行于平面x2yz2，则(1,1,1)点P的坐标为(1,1,1)或3927。5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]的定义为f(x)21x03x0x1，则f(x)的傅里叶级数在x1收敛于2。二、解答下列各题（每小题7分，共35分）f(x,y)I1dx2xf(x,y)dy6．设011x2连续，交换二次积分的积分顺序。I1dx2xx2f(x,y)dy01111(y1)2f(x,y)dx22y解：dydyf(x,y)dx0010x2y2dxdy1所7．计算二重积分D，其中D是由
5、y轴及圆周x2(y1)2围成的在第一象限内的区域。r2dr16x2y2dxdy2d2sin解：D0098．设是由球面z1x2y2与锥面zx2y2围成的区域，试将三重If(x2y2z2)dxdydz积分化为球坐标系下的三次积分。解：Ifx2y2z2dxdydz241r2r2sinddfdr0009．设曲线积分L[f(x)ex]ydxf(x)dy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)1，求f(x)。解：P[f(x)ex]y，Qf(x)。由L[f(x)ex]ydxf(x)dy与路径无关，得QxPy，即f(x)f(x)
6、ex0。解微分方程yyex，得其通解ycex1ex。又f(0)c1。故f(x)1ex1ex21，得22210．求微分方程y2yyex的通解。解：y2yy0的通解为y(c1c2x)ex。设原方程的一个特解y*cex，代入原方程，得c14。其通解为y(c1c2x)ex1ex4三、(10分)y2dzdxzdxdy计算曲面积分，其中∑是球面x2y2z24(z0)的上侧。解：补上1:z0(x2y24)下侧。y2dzdxzdxdyy2dzdxzdxdyy2dzdxzdxdy..............2分11(2y1)dxdydz0..
7、..........................................3分2ydxdydzdxdydz对称性01616.........................3分33四、(10分)计算三重积分(xyz)dxdydz由zx2y2与z1，其中围成的区域。解：(xyz)dxdydzxdxdydzydxdydzzdxdydz...........................2分对称性211..............8分00zdxdydzdrdr2zdz00r3五、(10分)求zx2y21在y1x下的极值
8、。解：zx2(1x)212x22x2，得x11令z4x202。z40，x2为极小值点。故zx2y21(113在y1x,)，极小值为2。下的极小值点为22六、(10分)求有抛物面z1x2y2与平面z0所围立体的表面积。解：z1x2y2(z0)的面积为S1dS14x22分4ydxdy.....
