高等数学试卷(含答案)

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1、《高等数学》专题讲解（五）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分。把答案书写在答题纸相应番号的横线上）1．极限．2．函数在点处的切线方程是．3．一阶线性微分方程满足初始条件的特解是．4．设函数在点处连续，则．5．行列式的值是．二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸相应番号的横线上）6．函数在点处的全微分等于（）．（A）（B）（C）（D）7．设，，则（）．（A）收敛，发散（B）发散，收敛（C），均发散（D），均收敛8．函数的单调递减区间为（）．

2、（A）（B）（C）（D）9．设为连续函数，二次积分交换积分次序后等于（）．（A）（B）（C）（D）10．设，，，为同阶方阵，为单位矩阵．若，则下列各式中总成立的有（）．（A）（B）（C）（D）三、计算、应用与证明题（本大题共10小题，每小题8分，满分80分。解答应写出推理、演算步骤）11．求极限．12．求定积分．13．设函数，求．14．计算二重积分，其中是由直线，和所围成的区域．15．求微分方程满足初始条件，的特解．16．求幂级数的收敛半径和收敛区域．17．求线性方程组的通解．18．设矩阵，已知，求矩阵．19．求函数在区间上的最大值与最小值．2

3、0．证明：当时，．《高等数学》专题讲解（五）参考答案一、填空题1、2、3、解：由题可知，该微分方程为一阶线性微分方程，又，，可知该为分方程的通解为，将代入通解，得，所以该微分方程的特解为.4、5、二、选择题6、B7、A8、B9、D10、C解：因为，所以.三、计算与应用题11、112、解：令，则，，当时，；当时，，所以.13、解：因为，，所以.14、解：（图形同学们自己画）由图所示可知，积分区域为，所以.15、解：因为该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为，解得，所以该微分方程的通解为，又，将代入通解和，可得，所以该微分方程的特解为

4、.16、解：因为，所以该级数收敛半径为．当时，原级数为交错级数且收敛，当时，原级数为调和级数是发散的，所以该级数的收敛区间为．17、解：可见，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中为自由未知量）.令，则有，即.所以，该方程组的通解为（）.18、解：因为，又，即A可逆，且，，即可逆，且，所以.19、解：，令，得，又，，，，，所以在上的最大值为244，最小值为-31.（注意：求出的驻点必须在规定区间内，不在的必须舍去，而本题的驻点都在规定区间内.）20、证明：令，则在上连续.（1）当时，，即在上严格单调增加，又，所以,当时，，即.（2）当时，，

5、即在上严格单调减少，又，所以,当时，，即.综合（1）（2），可知当时，.