概率统计难题选解(一).docx

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1、概率统计难题选解（一）1.在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点，连接起来又得一弦。求这两弦相交的概率。解设圆周长为1，设圆周上一点坐标位置为0，逆时针绕圆一周后坐标位置为1。不妨设第一条弦的一个端点位置为0，另一个端点位置为X，第二条弦的两个端点位置为Y和Z。X，Y和Z可以看作是3个相互独立的服从[0,1]上均匀分布的随机变量。当且仅当0YXZ1或0ZXY1时，两弦相交。所以，两弦相交的概率为pP{0YXZ1}P{0ZXY1}1x11x10dydzdx0dzdydx0x0x1x)dx1x)dx1

2、x2)dx1x(1x(12(x。00032.从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。求这时正好抽了n张牌的概率。解设4种花色为A、B、C、D。n1P{抽n次只抽到A}。4nP{抽n次最多只抽到A、Ｂ}2。4P{抽n次抽到且只抽到A、Ｂ}P{抽n次最多只抽到A、Ｂ}P{抽n次只抽到A}P{抽n次只抽到Ｂ}nnnnn211221。444443P{抽n次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ}4n。P{抽n次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ}P{抽n次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ}P{抽n次抽到且只抽到A、

3、Ｂ}P{抽n次抽到且只抽到A、Ｃ}P{抽n次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ}1P{抽n次只抽到A}P{抽n次只抽到Ｂ}P{抽n次只抽到Ｃ}nnn31nn32n31n332213。4444444P{前n1次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第n次抽到Ｄ}n1n1n1332311。4444P{第n次抽，首次抽到４种花式}P{前n1次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ、Ｄ，第n次抽到Ａ}P{前n1次抽到且只抽到A、Ｃ、Ｄ，第n次抽到Ｂ}P{前n1次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｄ，第n次抽到Ｃ}P{前n1次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第n次抽到Ｄ}1n12n1

4、1n113434444n132n131n13n132n133。4444n1３.r个人相互传球，从甲开始。每次传球时，传球着可能把球传给其余r1个人中的任何一个。求：（１）传了n次球，球仍没有回到甲手里的概率。（２）传了n次（nr1），没有一个人接到过两次球的概率。（３）第n次传球时仍由甲传出的概率。解（１）第１次从甲传出后，又传了n1次，每次都没有传给甲，即传给其余r1人中除了甲以外的r2人中的任何一人，这样的概率为r2，n1次后的概率为r1rn12。r1（２）第１次，甲传给其余r1人中任何一人，概率为

5、r1；r1r2；第２次，传给其余r1人中除了甲以外的r2人中任何一人，概率为r1第３次，传给其余r1人中除了已经接到球的人以外的r3人中任何一人，概率为r3；r12⋯⋯第n次，传给其余r1人中除了已经接到球的人以外的rn人中任何一人，概率为rn。r1因此，所求概率为r1r2r3rn(rn)!。r1r1r1r1(r1)n(r2)!（３）设P{第n次传球时由甲传出}pn，P{第n次传球时由非甲传出}1pn。由于P{第n次传球时由甲传出}P{第n1次传球时由非甲传出}P{传给甲｜第n1次传球时由非甲传出}，所

6、以有递推公式1，n2,3,。pn(1pn1)r1下面用数学归纳法证明：11(1r)n2pn1,2,3,r，n。11r)121(1r)首先，当n1时，p1(11，第１次由甲传出，显然p11，rr公式成立。11(1r)k2设已知当nk时，公式成立，有pk，下面看nk1时：r11r11(1r)k21111(1r)k2pk1(1pk)r1rr1rr111(1r)(k1)2。r公式也成立。所以，对任何n1,2,3,，公式都成立。3４.掷均匀硬币直至第一次出现接连两个正面为止。求这时正好掷了n次的概率。解设pnP{

7、掷n次首次出现“正正”}。因为P{掷n次首次出现“正正”}。P{第1次掷出现“反”，以后掷n1次首次出现“正正”}P{第1次掷出现“正”，第2次掷出现“反”，以后掷n2次首次出现“正正”}所以有递推公式pn1pn11pn2，n3,4,5,。24同时，显然有p1P{掷1次首次出现“正正”}P()0，p2P{掷2次首次出现“正正”}1。4根据递推公式pn1pn11pn2，可以列出方程：x21x1，24241515解这个方程，得到两个解x14，x2。4所以，pn的表达式可以写成下列形式：nnpnA15B15，

8、44其中A，B是待定常数。将初始条件代入，有：A15B15p1044，22A15B15p21444解这个方程，得到A5555，所以，最后得到问题要求的概率为10，B10551n5515npn5，n1,2,3,。1041044