概率统计难题选解(一)

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1、概率统计难题选解（一）1.在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点，连接起来又得一弦。求这两弦相交的概率。解设圆周长为1，设圆周上一点坐标位置为0，逆时针绕圆一周后坐标位置为1。不妨设第一条弦的一个端点位置为0，另一个端点位置为，第二条弦的两个端点位置为和。，和可以看作是3个相互独立的服从上均匀分布的随机变量。当且仅当或时，两弦相交。所以，两弦相交的概率为。2.从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。求这时正好抽了张牌的概率。解设4种花色为A、B、C、D。抽次只抽到A　。抽次最多只抽到A、Ｂ　。抽次抽到且只抽到A、Ｂ抽次最多只抽到A

2、、Ｂ抽次只抽到A抽次只抽到Ｂ　。抽次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ　。抽次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ抽次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ抽次抽到且只抽到A、Ｂ抽次抽到且只抽到A、Ｃ抽次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ5抽次只抽到A抽次只抽到Ｂ抽次只抽到Ｃ　。前次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第次抽到Ｄ　。第次抽，首次抽到４种花式前次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ、Ｄ，第次抽到Ａ前次抽到且只抽到A、Ｃ、Ｄ，第次抽到Ｂ前次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｄ，第次抽到Ｃ前次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第次抽到Ｄ　。３.个人相互传球，从甲开始。每次传球时，传球着可能把球传给其余个人中的任何一个。求：（１）传了次球，球仍没有回到甲手里的概率。（２）传了次

3、（），没有一个人接到过两次球的概率。（３）第次传球时仍由甲传出的概率。解　　（１）第１次从甲传出后，又传了次，每次都没有传给甲，即传给其余人中除了甲以外的人中的任何一人，这样的概率为，次后的概率为。（２）第１次，甲传给其余人中任何一人，概率为；第２次，传给其余人中除了甲以外的人中任何一人，概率为；第３次，传给其余人中除了已经接到球的人以外的人中任何一人，概率为；5……第次，传给其余人中除了已经接到球的人以外的人中任何一人，概率为。因此，所求概率为　。（３）设第次传球时由甲传出，第次传球时由非甲传出　。由于第次传球时由甲传出第次传球时由非甲传出传给甲｜第次传球时由非甲传出，

4、所以有递推公式　，　。　　下面用数学归纳法证明：，　。　　首先，当时，，第１次由甲传出，显然，公式成立。　　设已知当时，公式成立，有，下面看时：　。5公式也成立。所以，对任何，公式都成立。４.掷均匀硬币直至第一次出现接连两个正面为止。求这时正好掷了次的概率。解设掷次首次出现“正正”。因为掷次首次出现“正正”。第1次掷出现“反”，以后掷次首次出现“正正”第1次掷出现“正”，第2次掷出现“反”，以后掷次首次出现“正正”所以有递推公式，　。同时，显然有掷1次首次出现“正正”，掷2次首次出现“正正”。根据递推公式，可以列出方程：，解这个方程，得到两个解，。所以，的表达式可以写成下

5、列形式：，其中，是待定常数。将初始条件代入，有：，解这个方程，得到，，所以，最后得到问题要求的概率为5，。5