概率论习题答案随机变量的数字特征.docx

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1、第3章随机变量的数字特征1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求E(X).“TheyfoundPekinggreatlychanged”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为X4567pk1/51/51/52/5E(X)1(45677)29/5.52，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E(Y)。解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单

2、词更有可能被取到。分布律为Ypk45674/295/296/2914/29E(Y)1(445566714)175/29.293，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为p0C1036，p1C21C1029，p2C22C1011。C12311C12322C12322所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为E6091121(台)。11222224，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛

3、的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为Y12345789101112pk1111111111166666363636363636得分的数学期望为E1(12345)1(789101112)49(点)。636125，（1）已知X~()，P{X5}P{X6}，求E(X)。（2）设随机变量X的分布律为P{Xk}6,k1,2,3,4,，22k问X的数学

4、期望是否存在？解：（1）根据X~5e6e6}，因此()，可得P{X5}P{X5!6!计算得到6，即X~(6)。所以E(X)=6。（2）根据题意，按照数学期望的公式可得E(X)(1)k1kP{Xk}(1)k1k66(1)k116ln2，2k22k2k1k1k1因此期望存在。（利用了ln(1x)(1)nxn,1x1（不符书上答案）n1）n06，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为f(x)xex/3/9,x0，求一天的平均耗水量。0,其他（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为F(x)0,25

5、,x51x5x2求这种动物的平均寿命。解：（1）一天的平均耗水量为E(X)xf(x)dxx2ex/3dxx2d(ex/3)02xex/3dx2xd(ex/3)090303002ex/3dx6（百万升）。0（2）这种动物的平均寿命为E(X)xdF(x)xd(125)50dx10（年）。5x25x27，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为42x(1x)5,0x1f(x)其他，0,求X的数学期望。11解：E(X)xf(x)dx42x2(1x)5dx7x2d(1x)600x)61112x(1x)7117x2(114x(1x)6dx2xd

6、(1x)72(1x)7dx00000=1/4。8，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。f(x)2(11/x2),1x20,其他。22解：()()2(11/2)(22ln2ln2xxdxx)3。EXxfxdxx119，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。3(1x)2/2,1x0f(x)3(1x)2/2,0x10,其他解：E(X)xf(x)dx03x(1x)2dx13x(1x)2dx120203x(1x)2dx13x(1x)2dx0。1202（对第一个积分进行变量代换xy）10，设X~B(4,p)，求数学期望E(sinX).2X解

7、：E(sin)4k0sinkC4kpk(1p)4k2C41p1(1p)3C43p3(1p)14p(1p)(12p2p2)。（不符书上答案）11，设球的直径R服从区间(0,a)上的均匀分布，求球体积VR3/6的数学期望。解：R的概率密度函数为1/a,0xa，所以f(x)其他0,ar31dra3E(V)。06a240.3e0.3x,x012，设随机变量X的概率密度为f(x)0,其他，另有X的函0,X0数g(X)X2,0X4，求数学期望E[g(X)]。16,X44解：E[g(X)]g(x)f(x)dxx20.3e0.3xdx160.3e0

8、.3xdx041(200584e1.2)（不符书上答案）913，设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，记Y1min(X1,X2,,Xn)，Ynmax(X1,