随机变量的数字特征之方差1概率论

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1、上节介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.复习五条性质:2021/10/71§2方差上节的例1甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,成绩12345人数251085成绩12345人数001460乙班则该班的平均成绩也是你认为两个班的成绩一样吗?为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的则该班的平均成绩1.概念的引入2021/10/722.方差(Variance或Dispersion)定义

2、.设X是一随机变量，则称E[X-E(X)]2称为X的方差,记作D(X)即方差的算术平方根称为X的标准差，记作即若E[X－E(X)]2存在，2021/10/73注:(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.≥0;(1)由定义知，D(X)=E[X-E(X)]22021/10/743.方差的计算(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差2021/1

3、0/75PX-10120.10.10.50.3解：求例1.设随机变量X的分布列为=0.82021/10/76(2)利用方差公式且E(X2)也存在,则证明:定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，2021/10/77PX-10120.10.10.50.3求例1(续).设随机变量X的分布列为PX210140.10.10.50.3PX21040.60.10.32021/10/78解:例2.若X～B(n,p),求方差D(X).已求得=E(X),其中X~B(n-1,p)2021/10/79解:例3.若求D(X).已求得=E(X

4、),其中X~P(lambda)2021/10/710已求得例4.若X～U(a,b),求D(X).解:2021/10/711解:例5.若求D(X).已求得=E(X),其中X~e(1)2021/10/712指数分布r为整数n时，(n)=(n－1)!2021/10/713U(a,b)e()P()B(n,p)(0—1)ppqnpnpq常用随机变量的期望与方差分布分布列或密度函数期望方差2021/10/714二、方差的性质2021/10/715例.已知随机变量X的数学期望E(X)与设随机变量试证证：(标准化的随机变量)

5、都存在,且2021/10/716求解：例.设X1,X2相互独立，由X1,X2相互独立，有2021/10/717基本内容：一、原点矩与中心矩一、协方差与相关系数第三节原点矩与中心矩第四节协方差与相关系数2021/10/718一、原点矩与中心矩1.k阶原点矩：2.k阶中心矩：特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,E[X-E(X)]2为方差.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式特别地，k=1,E[X-E(X)]=0.2021/10/7191.协方差定义.随机变量X与Y的函数[X-E(X)][Y-E(Y)]的数学期

6、望存在，则称其为X与Y的协方差,cov(X,Y),即记作二、协方差和相关系数——反映两个变量X和Y相关性的数字特征2021/10/720协方差的简便计算方法：2021/10/721若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;分析:由于X与Y相互独立,则协方差cov(X,Y)=0,证明：由X与Y相互独立，有两个随机变量独立与不相关的关系：不一定成立.所以X与Y不相关.反之,X与Y不相关cov(X,Y)=0.2021/10/722定义.设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，为X与Y的相关系数，注：相关系数R(X,Y)仅表示X与

7、Y之间的线性关系.则称记作2.相关系数2021/10/723基本内容：一、切比雪夫不等式二、大数定律第五节切比雪夫不等式与大数定律2021/10/724对于任意的正数设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,有或切比雪夫不等式2021/10/725证：仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量X的密度函数为f(x),则有2021/10/726注(1)切比雪夫不等式的用途：它给出了在X的分布未知的情况下，估计概率的方法；(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度.由可知:D(X)越小(即X偏离E(X)程度越

8、小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3)它是大数定律的理论基础.2021/10/727例.已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300,标准差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在5200~9400之间的概率.(P94.19题)解：设随机变量设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得2021/1