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1、【概率论习题答案】第3章_随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征习题解答第3章随机变量的数字特征1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求E(X).“TheyfoundPekinggreatlychanged”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为E(X)?15(4?5?6?7?7)?29/5.2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的
2、分布律并求E(Y)。解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为E(Y)?129.(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/293，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，35第3章随机变量的数字特征习题解答2台的概率分别为p0?C10C3123?611，p1?C2C10C31212?922，p2?C2C10C31221?122。所以取到的电视
3、机中包含的次品数的数学期望为E?611?0?922?1?122?2?12(台)。4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为得分的数学期望为E?16(1?2?3?4?5)?136(7?8?9?10?11?12)?4912(点)。5，（1）已知X~?(?)
4、，P{X?5}?P{X?6}，求E(X)。（2）设随机变量X的分布律为P{X?k}?6?k22,k?1,?2,3,?4,?，问X的数学期望是否存在？解：（1）根据X~?(?)，可得P{X?5}??e5??5!??e6??6!?P{X?6}，因此36第3章随机变量的数字特征习题解答计算得到??6，即X~?(6)。所以E(X)=6。（2）根据题意，按照数学期望的公式可得????E(X)??k?1(?1)k?1kP{X?k}??(?1)k?1k?1k6?kn22?6???2?k?1(?1)k?11k?6ln2?2
5、，因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)n?0?xnn?1,（不符书上答案）?1?x?1）6，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为?xe?x/3/9,f(x)???0,x?0其他，求一天的平均耗水量。（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为?0,?25F(x)??1?2,?x?x?5x?5求这种动物的平均寿命。解：（1）一天的平均耗水量为????E(X)??xf(x)dx??????xe2?x/3??9dx???x2??3d(e?x/3)?0??
6、2xe?x/3??3dx???2xd(e?x/3)?0??2e?x/3dx?6（百万升）。（2）这种动物的平均寿命为????E(X)????xdF(x)??5xd(1?25x2??)??x5502dx?10（年）。7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为37第3章随机变量的数字特征习题解答?42x(1?x)5,f(x)???0,0?x?1其他，求X的数学期望。解：E(X)??xf(x)dx????1??42x2(1?x)dx?5??7xd?(1?x)?261??7x(1?x)2?6101??14x
7、(1?x)dx??6?1??2xd(1?x)?7???2x(1?x)7101??2(1?x)dx7=1/4。8，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。?2(1?1/x2),f(x)???0,??21?x?2其他2。21解：E(X)??xf??(x)dx??2x(1?1/x12)dx?(x?2lnx)?3?2ln2。9，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。?3(1?x)2/2,?2f(x)??3(1?x)/2,?0,????1?x?00?x?1其他(1?x)dx2解：E(X)??xf(x)dx???
8、??13x21(1?x)dx?2?3x2??13x21(1?x)dx?2?3x2(1?x)dx?0。2（对第一个积分进行变量代换x??y）10，设X38~B(4,p)，求数学期望E(sin?X2).第3章随机变量的数字特征习题解答解：E(sin?X2)?k??kk4?k?sin?C?p?(1?p)??24??k?0?41133312（不符书上答案）?C4?p?(1?p)?C4?p?(1?p)?4p(1?p)(1?
