大一第一学期期末高数A试卷及答案.docx

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1、高等数学I1.当xx0时，x,x(A)xx(C)ln1(x)(x)1都是无穷小，则当xx0时（D）不一定是无穷小.(B)2x2x2(x)(D)(x)limsinxxasina2.xa的值是（C）.极限（A）1（B）e（C）ecota（D）etanasinxe2ax1x0f(x)x3.ax0在x0处连续，则a=（D）.（A）1（B）0（C）e（D）14.设f(x)在点xa处可导，那么limf(ah)f(a2h)（A）.h0h（A）3f(a)（B）2f(a)(C)f(a)1f(a)（D）3二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）limln(

2、xa)lna(a0)15.极限x0x的值是a.由exycos2x确定函数y(x)，则导函数y2sin2xyyexy6.ylnxxexyx.lnx7.直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直线lx1y2z3的方程为111.8.求函数y2xln(4x)2的单调递增区间为（－￥，0）和（1，+￥）.三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）1(1x)xelimx9.计算极限x0.(11e1ln(1x)1ln(1x)xelimx)xex1xelimxelimx22解：x0x0x0xF(x)(xt)f(t)dtx[a

3、,b]10.设f(x)在[a，b]上连续，且a，试求出F(x)。xxF(x)xf(t)dttf(t)dt解：aaxxF(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dtaaF(x)f(x)xcosxdx.11.求sin3x解xcxs2s3x12：oid12xs4小题，每小题8分，共32分）四、解答题（本大题有2dx2xx21.12.求3令1tx111原式2()dt311t221tt23dt322arcsint11t216222x13.求函数y1x2的极值与拐点.解：函数的定义域（－￥，+￥）2(1x)(1x)4x(3x2)yx2)2y2)3(

4、1(1x令y0得x1=1,x2=-1y(1)0x1=1是极大值点，y(1)0x2=-1是极小值点极大值y(1)1，极小值y(1)1令y0得x3=0,x4=3,x5=-3x3)3,0)3)(3,+￥)(-￥,-(-(0,－+－+y33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）ix2求由曲线yx3与y3xx214.4所围成的平面图形的面积.解:x33xx2,x312x4x20,4x(x6)(x2)0,x16,x20,x32.S0(x33xx2)dx2x2x3)dx4(3x464303402(x3x2x(3x2xx))60162323164514712

5、33x215.设抛物线y4上有两点A(1,3)，B(3,5)，在弧AB上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.连线方程：y2x10AB45AB点到AB的距离2xy1x22x3(1x3)P55的面积ABPS(x)145x22x32(x22x3)25S(x)4x4当x1S(x)0S(x)40当x时S(x)取得极大值也是最大值1此时y3所求点为(1，3)另解：由于ABC的底一定,故只要高最大而过C点的抛物线AB的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4x02),使f(x0)2x053312,解得x01,所求C点为(1,3)六、证明题（本

6、大题4分）16.设x0，试证e2x(1x)1x.证明：设f(x)e2x(1x)(1x),x0f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，x0,f(x)0，因此f(x)在（0，+￥）内递减。在（0，+￥）内，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+￥）内递减，在（0，+￥）内，f(x)f(0),即e2x(1x)(1x)0亦即当x>0时，e2x(1x)1x试证e2x(1x)1x.