第七章-玻耳兹曼分布.ppt

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1、05十月2021第七章玻耳兹曼统计第七章玻耳兹曼统计我们在前面已经介绍过，统计物理学的一个基本观点是宏观量是相应微观量的统计平均值。现在，我们求出了玻耳兹曼系统的粒子数随能级或量子态的分布规律，就可以利用这一基本观点讨论玻耳兹曼系统热力学量的统计表达。§7.1热力学量的统计表达式前面我们讲过，定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。本章我们根据玻耳兹曼分布来讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。05十月2021第七章玻耳兹曼统计一、配分函数（7.1.1）在系统的N个粒子中，处在能级εl上的粒子出现的概率为由归一化条件（7.1.2

2、）可得05十月2021第七章玻耳兹曼统计（7.1.3）代入式（7.1.1）中得：（7.1.4）令其中，Zl称为配分函数。由式（7.1.3）和（7.1.4）可以看出，如果将（7.1.3）式右边的分子看作粒子的某一特定状态的话，则配分函数Zl可视为粒子的“有效状态和”。05十月2021第七章玻耳兹曼统计式（7.1.4）是配分函数的量子表达式，它的经典表述为（7.1.5）当各取得足够小时，上式的求和可用积分表示，有引入配分函数Zl后，玻耳兹曼分布式可改写为（7.1.6）（7.1.7）05十月2021第七章玻耳兹曼统计式（7.1.2）可改写为（7.1.8）二、热力学量的统计表达式1.

3、内能对于近独立粒子系统，系统的内能等于各个粒子的平均能量之和，即05十月2021第七章玻耳兹曼统计利用式（7.1.3）和式（7.1.4），有（7.1.9）式（7.1.9）是内能的统计表达式。2.广义力：以三维自由粒子为例分析：由上式可知：①粒子能级是外参量V的函数，即是热力学中广义坐标的函数,.②若在外界广义力的作用下，发生广义位移（y变化），能级就有变化。可见：相当于外界施于每个粒子上的广义力。05十月2021第七章玻耳兹曼统计对于近独立粒子系统而言，系统受到的作用力为利用（7.1.3）和（7.1.4）式，有（7.1.10）05十月2021第七章玻耳兹曼统计（7.1.11）

4、对于简单系统：比较：05十月2021第七章玻耳兹曼统计3．热力学第一定律的统计解释（1）（3）而：（2）对于简单系统将（2）（3）代入（1）中：（4）05十月2021第七章玻耳兹曼统计又（5）比较（1）（4）（5）式可知：系统内能的改变分为两部分：①作功改变内能：—粒子分布不变，广义力作用下，由于能级的变化引起内能变化,与外界对系统作的功对应；②传热改变内能：—粒子能级不变，由于粒子分布变化引起内能变化。与系统从外界吸收的热量相对应。可见,从微观来看功和热量是有区别的。05十月2021第七章玻耳兹曼统计4．熵的统计表达式前面曾经讲过，统计物理的一个基本观点是宏观量是相应微观量

5、的统计平均值。但是，并非所有的宏观量都有相应的微观量。例如，宏观量熵就不存在相应的微观量。对于这种情况，我们只能通过和热力学理论相比较的方法得到其统计表达式。由熵的定义和热力学第一定律（7.1.12）05十月2021第七章玻耳兹曼统计因为：用β乘以上式，得考虑到配分函数Zl是β和y的函数，lnZl的全微分可写为因此（7.1.13）05十月2021第七章玻耳兹曼统计（7.1.14）其中，K是比例常数。由于上面的讨论是普遍的，适用于任何物质系统，所以常数K是一个普适常数，称为玻耳兹曼常数。比较式（7.1.12）和式（7.1.13）可以看出，未定乘子β与系统的温度T有关。我们可令在

6、理想气体的计算中可以得到05十月2021第七章玻耳兹曼统计其中是阿伏伽德罗(Avogadro)常数；是气体普适常数。由此得K的数值为比较式（7.1.12）和（7.1.13），并考虑到（7.1.14）得（7.1.15）05十月2021第七章玻耳兹曼统计上式就是熵的统计表达式。其中，我们已将积分常数选为零。现在来讨论熵函数的统计意义：代入式（7.7.15）得:（7.1.8）取对数，得（7.1.16）将（7.1.17）05十月2021第七章玻耳兹曼统计由玻耳兹曼分布公式可得代入式（7.1.17），有比较，得（7.1.19）因为lnΩ可写为(6.6.4)05十月2021第七章玻耳兹曼

7、统计说明：（1）玻耳兹曼关系告诉我们，系统的熵与微观状态数的对数成正比，系统的微观状态数越多，系统的混乱程度就越高。因此，熵是系统混乱度的量度，这是熵的实质。（2）虽然玻耳兹曼关系是系统在平衡态的条件下得到的，但也适用于非平衡态。可用它来解释热力学中的熵增加原理。上式称为玻耳兹曼关系。其中，K是玻耳兹曼常数，Ω是与一个分布所对应的微观状态数，。05十月2021第七章玻耳兹曼统计若系统包含1和2两个部分，每部分各自处在平衡态，但整个系统没有达到平衡。我们用和分别表示两部分的微观状态数，两部分的熵分别为整个