《第七章玻耳兹曼统计》小结.doc

《《第七章玻耳兹曼统计》小结.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《第七章玻耳兹曼统计》小结一、基本概念：1、的非定域系及定域系遵守玻耳兹曼统计。2、经典极限条件的几种表示：；;;3、热力学第一定律的统计解释：即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能量引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化。二、相关公式1、非定域系及定域系的最概然分布2、配分函数：量子体系：半经典体系：经典体系：3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）内能：物态方程：定域系：自由能：熵：或的非定域系（经典极限条件的玻色(费米)系统）：自由能：熵：或三、应用：1、求能量均分定理①求平均的方法要掌握：②能量均分定理的内容---能量均分定理的应用：理

2、想气体、固体、辐射场。③经典理论的局限于问题2、对的非定域系的应用⑴麦克斯韦速度分布研究质心平动时经典、量子结果相同⑵气态方程①掌握由麦氏分布向具体分布的国度方法，②掌握求平均值的公式：③热力学公式。⑶理想气体的内能、热容量、熵、自由能的经典理论和量子理论的求解及其表达式。3、对定域系的应用①爱因斯坦固体热容量理论②顺磁性固体。四、应熟练掌握的有关计算1、由麦氏分布向具体分布的过度方法2、求平均值的方法：3、的证明及相关应用4、求配分函数进而求系统的热力学性质（定域系和的非定域系）5、麦氏分布的应用习题课一、求广义力的基本公式的应用；例1：根据公式，证明：对于

3、极端相对论粒子，，有。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。证明：令，，因此得到压强因内能，所以。证毕由于在求证过程中，并未涉及分布的具体形式，故上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。二、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，,对粒子的所有量子态求和。对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？证明：对于定域系证法（1）：证法（2）：对于满足玻耳兹曼分布的定域系故：讨论：对满足对的非定域系或例3：对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置数均为

4、N，证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能为极小证明在温度为T时，缺位和填隙原子数为（设）证明：（1）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各种占据方式就对应不同的微观状态，N个正常位置出现n个空位的可能方式数为，同样离开正常位置的n个原子去占据N个间隙位置的方式数也为，从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据的方式数即微观态数，由此求得熵（2）系统的自由能，取无缺陷时的晶体自由能为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能F对缺陷数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子

5、数为（设）三、麦氏分布及其应用例4：气体以恒定的速度沿z方向作整体运动，试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为证明：在体积V内，粒子质心在，…内的分子可能状态数为，而一个量子态上平均粒子数为，所以粒子质心在…的分子数为⑴将气体分子视为玻尔兹曼体系，给定分布下的微观状态数为在、的条件下，应用斯特林近似公式，有该体系应满足（粒子数不变）⑵（总能量不变）　　　　　⑶（z方向动量守恒）⑷所求的最概然分布是在满足限制条件⑵、⑶、⑷式下，使取极大的分布。按照拉格朗日待定乘子法，引入待定因子，构造函数最可几分布时，，得⑸将⑸代入⑴得到，最可几分布时，粒子动量在…的分子数

6、为⑹将自由粒子的能量代入得⑺令展开，相比较可得；⑻将⑻代入⑺，得到：证毕式中的可由⑵、⑶、⑷确定。将⑺代入中积分求得讨论：根据上式可求的平均值这恰好是气体整体运动是的平均动量，即气体的平动动量为,由此可见气体的平衡状态并不因为气体整体平动而受到破坏，其物态方程仍然为。据此还可证明。例5表面活性物质的分子在液面上作二维运动，可以看作二维理想气体，试写出二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。解：对二维理想气体，粒子自由度，分子能量为。在平衡态，按照玻尔兹曼分布律，在N个分子中，位置在而动量在，内的分子数为（1）其中粒子配分函

7、数（2）将（2）代入（1）并对积分，并将代入，得到速度分量在的分子数为（3）利用二维速度空间极坐标与直角坐标的关系：，将公式⑶换为平面极坐标，对积分，得到速率介于的分子数（4）（3）、（4）即为二维理想气体分子的速度分布和速率分布。由（4）求得速率分布函数⑸平均速率⑹速率平方平均值及方均根速率分别为，⑺由一阶导数为零，即，求得。例6：试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度vr=v2—v1和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值。解：按照麦克斯韦速度分布律，一个分子具有速度为v到v+dv的概率为（1）这里，所以分子1的速度在，而同时分子2的速度在的概率为⑵对

8、分子1、2，引入质心运动速度和相对速度