相空间和玻耳兹曼分布律

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1、8.6相空间和玻耳兹曼分布律8.6.1相空间和分布函数8.6.2玻耳兹曼分布律*8.6.3能量均分定理的证明振动自由度8.6.4简谐振子的平均能量8.6.1相空间和分布函数相空间：分子的状态可以用分子的空间位置和速度（动量）作为独立变量来描述。相空间体积元（只考虑平动自由度）：分子在任一时刻的运动状态，均可用相空间中的一个点来代表。由位置和速度（动量）构成的空间为描述分子同时按位置和按速度的分布，定义分子相空间分布函数：或，分子的状态在相空间分布的概率密度。f(r,v)：状态处于(r,v)附近的单位相空间体积内的分子数，占系统分子总数的百分比

2、。：位置处于r~r+dr、速度处于v~v+dv的分子数，即状态处于相空间体积元d内的分子数。N：系统的总分子数归一化条件：8.6.2玻耳兹曼分布律同时按位置、速度分布？近独立粒子系统位置和速度相互独立，按概率乘法法则，有分子的能量：由归一化条件，得平衡态系统中分子的相空间分布函数：玻耳兹曼分布律体现统计物理学基本思想：把系统的宏观量看成相应微观量的统计平均值玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，适用于理想气体，也可用于实际气体、液体和固体等分子之间相互作用力不是很强的经典的热力学系统。物理量W(r,v)在温度为T的平衡态下的统计平均值：相

3、空间体积元（包括转动自由度）：*8.6.3能量均分定理的证明振动自由度分子动能：相应平方项之和例如，刚性双原子分子的动能：对各个能量平方项求统计平均，如果统计平均值都等于kT/2，就证明了能量均分定理。以转动动能为例，计算统计平均值：1.能量均分定理的证明类似地，对其他平方项求平均，结果也都等于kT/2。能量均分定理的一般表述：在温度为T的平衡态系统中，分子能量表达式中每一个平方项对应的平均能量都等于kT/2。分子中原子振动可看成简谐振动，一个振动自由度能量包括两个平方项：2.振动自由度：动能：u、：相对运动的速度、位移，势能：、k：等效

4、的质量、劲度系数一个振动自由度对应的平均能量：分子平均能量：自由度：t：平动；r：转动；s：振动固体晶格点阵上原子沿三个互相垂直的方向作简谐振动，振动自由度s=3，其他自由度为零，原子振动的平均能量为3kT。在温度为T的平衡态下，（mole）固体的内能：8.6.4简谐振子的平均能量简谐振子：作简谐振动的系统按照经典概念，简谐振子的能量连续变化，振子的平均能量。1.简谐振子的能级在12.6.2节将会看到，频率为的一维简谐振子的能级：普朗克常量：实际上，简谐振子的能量是量子化的。把h/2取为能量零点，简谐振子的能量只能是能量单元h的整数倍

5、：h、2h、3h、…2.简谐振子的平均能量在温度为T的平衡态下，频率为的一维简谐振子的平均能量：如果振子频率较低或系统温度较高,回到经典情况。为什么？证明（不讲，自己推导）：由N个频率为的一维简谐振子组成的系统，达到温度为T的平衡态。由归一化条件,求出按玻耳兹曼分布律，系统中能量为n的振子数Nn与总振子数N之比：设把h/2取为能量零点，则有设，因，则有再把换成1/kT，即证。