数学分析PPT函数极限.ppt

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1、Chap2―2函数的极限一、函数极限的定义1.x无穷大情形定义1设f：(a,+)R(a>0).若存在常数A，使得则称当x＋时，f(x)的极限为A,或f(x)收敛于A，记为与数列极限定义比较！试一试简称“–X”定义，三者之间的关系是：命题例1.用“–X”定义验证例2.下列极限存在吗？2.xx0情形定义2设f：则称当xx0时，f(x)的极限为A,或f(x)收敛于A，记为“”定义f(x)在x0点的极限与f在x0点的定义无关;适当放大法仍然有效（解关于

2、x－x0

3、的不等式）.例3.用“”定义验证试一试证明3.单侧极限定义3.

4、设f:(x0,x0+)R.则称f(x)在x0点的右极限为A,记为①试一试左极限的定义？②单侧极限左、右极限的统称！③极限和左、右极限的关系命题可用于判断分段函数在分段点处的极限.例4.问函数sgnx当x0时是否存在极限？4.无穷小和无穷大定义4若极限过程为xx0,x或x的情形;有限个无穷小的和为无穷小；无穷小乘有界量为无穷小；有限个无穷小的乘积为无穷小;常数乘无穷小为无穷小.极限与无穷小的关系定理limf(x)=Af(x)=A+(x),其中(x)为无穷小.例5求定义5若试一试xx0,x或x;以及正无穷大,负无

5、穷大无穷小(不取零值)与无穷大互为倒数关系无穷大必定无界，反之不成立.如x0时为无界量，但不是无穷大.例6函数在x=0处有极限吗？1.Heine定理定理1定理揭示了函数极限与函数值数列极限之间的关系.可用于判定函数极限不存在.例7.问函数问题Dirichlet函数D(x)在x＝0处存在极限吗？二、函数极限存在准则推论1思考推论1与Heine定理本身的区别何在？推论2推论3思考推论2与推论3的区别何在？2.Cauchy收敛准则定理2试一试其它5种极限过程的Cauchy收敛准则！3.单调函数极限定理3设f在单调，则1)当f递增有上界时，当f递增无上界

6、时，2)当f递减有下界时，当f递减无下界时，试一试f在单调时，的情形！问题若f(x)在单调有界，能否得出存在？例8试证1)唯一性2)局部有界性3)局部保号性1.函数极限性质三、函数极限性质和运算法则4)局部不等式性5)夹逼性2.函数极限运算法则6)有理函数极限公式7)复合函数极限注意条件g(x)u0.变量代换形式两种免检情形:若u＝g(x)在严格单调若例9求极限例10求极限例11例12四、两个重要极限先证不等式等价形式:再令x0,注意由夹逼性即得证.例13求极限例14证明(C)幂指数函数极限公式1公式2设公式3设五.无穷小的比较两个无穷小的和、

7、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么样呢？两个无穷小的商实际上反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义例15求极限定义6设1)当l=0,则称(x)是(x)的高阶无穷小，记为(x)=o((x))；2)当l0,则称(x)是(x)的同阶无穷小，记为(x)=O((x))；3)当l=1,则称(x)是(x)的等价无穷小，记为(x)(x)；命题(x)(x)(x)–(x)=o((x))定义7设则称(x)是(x)的k阶无穷小,而ck(x)称为(x)的主部.(x)ck(x),即lim{(x)/

8、k(x)}=c0,注意c存在且不等于0.问题当x0时,无穷小xsin(1/x)对x有阶数吗？例16当x0时,分析若能把所给无穷小化为xf(x)的形式,其中limf(x)存在且不为零,则该无穷小对x的阶数就是.等价无穷小替换定理原则极限式分子或分母的无穷小因式可以用等价无穷小替换,而和式中的无穷小,不能轻易替换！当x0时,常用等价无穷小有公式中,x可为自变量,也可为极限为零的函数!如ln(1+2x2)2x2.例17证明当x0时,(1+x)–1x.例18求极限分子中tanx和sinx不能分别用x替换!例20求极限例21求极限例19

9、设x0时，tanx－sinxaxk，求常数a和k的值.