数学分析函数极限概念.ppt

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1、§1函数极限概念一、x趋于时的函数极限二、x趋于x0时的函数极限三、单侧极限在本章,我们将讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,返回一、x趋于时的函数极限设函数定义在极限.f(x)当x趋于时以A为也无限地接近A,我们就称无限远离原点时,函数f(x)上,当x沿着x轴的正向趋于例如函数当时,10203040O0.51为极限.以记为或者定数,若对于任意正数存在使得定义1A为④③①任意给定②存在④③①任意给定②存在注数列可视为定义在正整数集上的函数.请大家所以(由定义1),例1证明任给取证与不同点

2、.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点例2证任给这就是说定义2记为则称或记为定义3存在当或证对于任意正数这就是说例3求证例4求证所以结论成立.证对于任意正数,可取从定义1、2、3不难得到:定理3.1则由定理3.1，的充要条件是：例如二、x趋于x0时的函数极限设函数f(x)在点x0的某空心邻域　　　内有定义.定义4为极限的定义.下面我们直接给出函数f(x)时以常数A或者记为则称例5证明时,使分析因只要式就能成立,故取即可.证这就证明了例6证明可以先限制因为此时有故只要所以要使分析这就证明了证有例7求证：注在例5、例6中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这

3、不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出,或许所求出的证首先，在右图所示的单位圆内,显然有即故OCDBAyxx同理可证:例7证明：证因为则这就证明了所需的结论.在上面例题中,需要注意以下几点：,我们强调其存在性.换句话说,对于固定1.对于的不同的方法会得出不同的,不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3.正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.,那么比它更小的正是不惟一的,一旦求出了有时为了方便,需要让小于某个正数.一旦对这为贵”.当然也能满足要求.所以我们有时戏称“以小样的能找到相应的,那么比它大的,这个平面上以y=A为中心线,宽为的

4、窄带,可以找到使得曲线段4.函数极限的几何意义如图,对于坐标落在窄带内.三、单侧极限x既可以从x0但在某些时定义5A为常数.若对于任意正数,在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在x0的某一侧来考虑,比如函数则称A为函数f当时的右(左)右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，极限,记作有时记例7讨论函数解因为所以由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：注试比较定理3.1与定理3.1´.定理3.1´不存在.作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限.例9证明狄利克雷函数证处处无极限.满足这就证明了结论.则例10设黎曼函数证因为在(0,1)中分母小于

5、N的有理数至多只有个,故可设这些有理数为这就是说，除了这n个点外,其他点的函数值都对以上两种情形都有这就证明了小于.所以我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能注有兴趣的同学可以证明：复习思考题否构造一个函数，它仅在处有极限.在前面一节中引进的六种类型的函数§2函数极限的性质二、范例一、的基本性质为代表叙述性质.这里仅以质与证明，只要相应作一些修改即可.并证明这些性质，至于其它类型的性极限，它们都有类似于数列极限的一些返回定理3.2(惟一性)证不妨设以及由极限的定义，对于任意的正数(1)存在,则此极限惟一.若的基本性质一、(2)式均成立，所以由的任意性，推得A=B.

6、这就证明了极限是惟(1)式与一的.(2)定理3.3（局部有界性）证由此得有界.这就证明了　在某个空心邻域上有界.注：试与数列极限的有界性定理（定理2.3）作一(2)有界函数不一定存在极限；说明定理中“局部”这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）若则对任何正数由此证得证不妨设.对于任何取定理3.5（保不等式性）证分别存在正数使当时,有定理3.6（迫敛性）证因为再由定理的条件，又得这就证明了的极限存在，并且就是A.在点x0的极限也存在,且都存在,则在点x0的极限也存在,定理3.7（四则运算法则）若并有这些定理的证明类似于数列极限中的相应定理,这就可以知道这些定理是显

7、然的.里将证明留给读者.在下一节学过归结原则之后,二、范例例1例2因此由迫敛性得解由取整函数的性质，时,有同理得于是求得例3求极限解因为所以例4特别又有证所以复习思考题