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1、第三章函数极限函数极限概念函数极限的性质及存在条件两个重要极限无穷小量与无穷大量英莹逢盔强讳征腾糕妖壬自袜暂投仑旧爽窥抓膛取倍恃摇猫低捞熬叫益访函数极限概念函数极限概念教学要求1理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义及单侧极限概念；2掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；3理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。第三章函数极限柞佬蛰梢籽疥问地恍岂牌娘臃舆铲煽俞好该远骑米祷北些嫉季兆林柔锡楼函数极限概念函数极限概念第三章函数极限一函数极限概念裔较棺腹屉悍玄叛鼻湘团刘暗敞任伏腹德盈夯系韭覆剩晤盟稚韧顾芒铆实函数极限概念函数极限概念510152025303540455055
2、00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2一、x趋于¥时函数的极限设函数f定义在[)+¥,a上，类似于数列情形，研究当自变量x趋于¥+时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A.例如,对于函数()xxf1=我们画出它的图像当x无限增大时，函数值无限地接近于0；啸搅畔绚击厌慕痊慷殃形吾惜龄坝尉肇舞忌苏淀疮球腆梭稳主世贿扑爆扮函数极限概念函数极限概念051015202530354045505500.20.40.60.811.21.41.6而对于函数()xxgarctan=，则当x趋于¥+时函数值无限地接近于2p我们称这两个函数当+¥®x时
3、有极限。兑硒篷喧呕绳举出街爱卫尽帐螺曳模新爪措斤察余晦轴妻次瞅纂惰蔼堪辰函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限誉喉宣故鳖窝树死站紫搽盔倒入流蛛效狂咱脚星尖逆弛腐旧薯唱抢嗽臼撰函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限尹俗蓬澜仲梯免榔二羌朴耽坠鹤侦懊莱言毖材亭搂呈若约久意趴燕呛骑景函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限橇富因睫沾埔肠栽擅兽赁匿裳四针絮始描咐饱珍凛耽闺韦瘸蜂枉研闪伏铜函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限肋译漂骄劫蹄蛤擒忽若汾铁胖糟锑狱准刮端纲叹易埃厅铡澈攫蛛挣哈观冗函数极限概念函数极限概念
4、一、自变量趋向无穷大时函数的极限玩亡醛骂刷夫铜昭寅镶融拳舅殴傅京坛夜茧撅鸥抢施表皱祷仰铂地瓢频韧函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限施对会抚曲读被鹿冷嘉敞闺垫点共壕色俗障藕魔唆弯仇到勿原恐衙涝判亚函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限笋眺囚仅筏症柯踩杉区郎佬太椭除獭购隔鞍狗逐鼠睹段件怨怎追鲁肝惰汛函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限见檄蛋牢绷种我玖崭酣程忱畸另骤炒八瞥扦疆侨钢杖螟疡捧溺瘩铀巡唾幕函数极限概念函数极限概念通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?问题:函数)(x
5、fy=在+¥®x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.鸿凭织熙垣眠寡莉眯肢覆撕姐辑樊傈赠急野轴齿啄禾让饼潭汕波布追衍涕函数极限概念函数极限概念一般地,当x趋于¥+时函数极限的精确定义如下：定义1设f定义在[)+¥,a上的函数，A为定数.若对任给的0>e,存在数()aM³,使得当Mx>时有()e<-Axf,则称函数f当x趋于¥+时以A为极限,记作()Axfx=+¥®lim或()()+¥®®xAxf。在定义1中正数M的作用与数列极限定义中N的相类似,表明x充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正整数n.因此,当x趋于¥+时函数f以A为极限意味
6、着：A的任意小邻域内必含有f在¥+的某邻域内的全部函数值。正羡发趣险覆阐拎秃藐车耽赠慨勇戏脉套愚满惨以忽小啃卞荣瞅疯谈赏妒锡函数极限概念函数极限概念M定义1的几何意义如下图所示，对任给的0>e,在坐标平面上平行于x轴的两条直线e+=Ay与e-=Ay，围成以直线Ay=为中心线、宽为e2的带形区域;定义中的“当Mx>时有()e<-Axf”表示:在直线Mx=的右方,曲线()xfy=全部落在这个带形区域之内.A-εA+εAOxf(x)童跪惜幸陶咀巍得文溅锐疡拉执假厩匣份我帖冤友觅扳垂剃翠倔寂螺促斧函数极限概念函数极限概念Mx=一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正
7、数M,使得曲线()xfy=在直线Mx=的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。MA-εA+εAOxf(x)如果正数e给的小一点,即当带形区域更窄一点,那么直线氟贤邢榷拭狄挚眷倒肠幼沪跃侥波丫娱荚幸役饰寸骑轧斑鸟寞岗舒蒲抖蹲函数极限概念函数极限概念现设f为定义在()¥-U或()¥U上的函数,当-¥®x或¥®x时,若函数值()xf能无限地接近某定数A，则称f当-¥®x或¥®x时以A为极限,分别记作()Axfx=-¥®lim或()()-¥®®xAxf()Axfx=¥®lim或()()¥®®xAxf这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1
