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1、微积分讲课提纲微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬Email:jfzhuzju.edu第三节函数极限一、函数极限的概念二、函数极限的性质三、函数极限存在的准则五、两个重要极限四、无穷小量、无穷大量、阶的比较一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.1、定义：2、几何解释:例证例：证明因这个不等式相当于或由此可知,如果取那么当时,不等式成立,证毕.直线y=0是函数的图形的水平渐近线.证要证当时,不等式成立.3、时,函数的极限对函数，当取正值且无限增大时，函数值无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。记作:对于任意
2、给定的正数,总存在正数M,当x>X时，恒有则称当时，函数以A为极限。定义：几何解释:)2(y.,,fe=>y的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时当=AxXx4、时,函数的极限记作:对于任意给定的正数,总存在正数M,当x<－X时，恒有则称当时，函数以A为极限。对函数，当取负值且无限增大时，函数无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。定义：例：不存在．例：设求解：结论：由图容易看出：分析需要证明之处例:证明：证明：二、自变量趋向有限值时函数的极限1）2）表示时有无极限与有无定义没有关系.3）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.4）不唯一，也不必找最大的，只要
3、存在即可.几何意义如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。例证例证例证函数在点x=1处没有定义.例证例:证例：证明：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的值。结论２．单侧极限:例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例证例函数当时的极限不存在.证当时的左极限而右极限因为左极限和右极限存
4、在但不相等,所以不存在.yOx-11例:讨论函数在处的极限.证.所以小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后函数极限的性质二、1、唯一性证:注意：局部有界性3.不等式性质定理(保号性)推论:4.四则运算法则设则有：法则1.法则2.法则3.推论1.推论2.注意法则1和法则2均可推广到有限个变量的情形.结论例.求解一般,设例.求(注:对于有理分式函数,首先要验分母极限是否为零.)解一般，设
5、有理分式函数是多项式若则结论一般，例．例.求解：例解将分子、分母同乘以因子(1-x),则5.复合函数求极限法则（1）若满足即函数符号与极限符号可以交换顺序.则说明设函数是由和复合而成（2）若满足且在内则变量替代法且在内证明：证毕例解三、函数极限的存在准则1、夹逼准则解：当x>0时，有：故：由夹逼定理得另一方面：当x<0时，有故：由夹逼定理得综上：我们可得：2、归结原则子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理证例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.注1 归结原则也可简述为：例证二者不相等,一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、
6、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限结束
