数学分析答案函数极限

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1、第三章函数极限与连续函数习题3.1函数极限1.按函数极限的定义证明：⑴＝8；⑵=2；⑶＝；⑷=；⑸；⑹＝0；⑺；⑻。证（1）先取，则，，于是对任意的，取，当时，成立，所以＝8。（2）首先函数的定义域为，且，于是对任意的，取，当时，成立，所以=2。（3）先取，则，，于是对任意的，取，当时，成立，所以＝。（4）先取，则，，于是对任意的，取，当时，成立，所以=。47（5）对任意的，取，当时，成立，所以。（6）对任意的，取，当时，成立，所以＝0。（7）先取，则，，于是对任意的，取，当时，成立，所以。（8）先取，则，于是对任意的，

2、取，当时，成立，所以。2.求下列函数极限：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽。解（1）。（2）。（3）。（4）。47（5）。（6）。（7）。（8）。（9）。（10）。3.利用夹逼法求极限：⑴；⑵。解（1），当，有。由，可知。，当，有。由，可知。由此得到。（2）当，有。由与，得到。4.利用夹逼法证明：(1)=0(a＞1，k为任意正整数)；(2)=0(k为任意正整数)。47解（1）首先有，由即得到=0。（2）令，则，且当时，有。再利用（1）的结论，即得到=0。5.讨论单侧极限：(1)=在x=0,1,2三点；(2)=，在x

3、=0点；(3)Dirichlet函数D(x)=在任意点；(4)=,在x=（）。解（1），，，，。（2），。（3）在任意点无单侧极限。（4），。6.说明下列函数极限的情况：(1);(2);(3);(4);(5);(6)。解（1）。47（2），极限不存在，所以极限不存在。（3）。（4），，所以极限不存在。（5）。（6）取，，则，，所以极限不存在。7．设函数。问当时，的极限是否存在？解由于，，所以。8.设=A（a≥0），证明：=A。证设=A（a≥0），则，，，有。取，则当时，首先有，于是，从而47，这就说明了=A。9.(1)设

4、=A，证明：=A。(2)设=A，问是否成立=A？证（1）设=A，则，，（即），有。取，则当时，有，从而，这就说明了=A。（2）当=A时，不一定成立=A。例如：，则，但极限不存在。10.写出下述命题的“否定命题”的分析表述：(1){}是无穷小量；(2){}是正无穷大量；(3)在的右极限是A；(4)在的左极限是正无穷大量；(5)当x,的极限是A；(6)当x，是负无穷大量。解（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。11.证明=的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于的数列{}，成立=。证必要性：由=，可知，，：。因为数列

5、{}收敛于，对于上述，，：。于是当时，成立，即=。充分性：用反证法。设=不成立，则，，47：。取，：对于，：；对于，：；对于，：；于是得到数列{}收敛于，但相应的函数值数列不可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以=成立。12.证明=的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{},成立=。证必要性：由=，可知，，：。因为数列{}是正无穷大量，对于上述，，：。于是当时，成立，即=。充分性：用反证法。设=不成立，则，，：。取，：对于，：；对于，：；对于，：；于是得到数列{}为正无穷大量，但相应的函数值数列不可能是负无穷大量，由此产生矛盾

6、，所以=成立。13.证明存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{}，相应的函数值数列{}收敛。证必要性：设，则，，：。因为数列{}是正无穷大量，对于上述，，：。于是当时，成立，即。充分性：因为对于任意正无穷大量{}，相应的函数值数列{}收敛，我们可以断言{}47收敛于同一个极限。如果存在正无穷大量{}与{}，使得，，且，则取，，{}仍然是正无穷大量，但相应的函数值数列{}不收敛。设{}都收敛于同一个极限，现用反证法证明。设不成立，则，，：。取，：对于，：；对于，：；对于，：；于是得到数列{}为正无穷大量，但相应

7、的函数值数列不收敛于，由此产生矛盾，所以。14．分别写出下述函数极限存在而且有限的Cauchy收敛原理，并加以证明：（1）；（2）；（3）。解（1）极限存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的，存在，对一切，成立。先证必要性。设，则，，：，。于是。再证充分性。任意选取数列{}，，，则对于条件中的，，：。于是当时，成立。这说明函数值数列是基本数列，因而收敛。再根据相应的Heine定理，可知存在而且有限。（2）存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的，存在，对一切，成立。先证必要性。设，则，，：，。于是。47再证充分

8、性。任意选取数列{}，，，则对于条件中的，，：。于是当时，成立。这说明函数值数列是基本数列，因而收敛。再根据相应的Heine定理，可知存在而且有限。（3）存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的，存在，对一切，成立。先证必要性。设，则，，：，。于是。再证充分性。任意选取数列{}，，则对于条件中的，，：。于是当时，