特征根方程求数列.doc

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1、特征方程求数列的通项江西省丰城市第二中学陈爱荣331100数列是高中数学的重要内容，也是高考的热点问题，但课本对数列的教学安排和高考的要求有一定的差距,从近年各省的高考试卷看,高考对数列的要求明显比课本要高，所以在复习中我们要在深刻理解等差和等比数列的基础上，对数列的性质各特点进行必要的挖掘，特别是某些递推关系求数列的通项这一类问题中有一些高等数学的背景,其中特征方程求数列的通项就是其中典型的内容之一一．可用特征方程解决递推数列的三类模型1．线性递推关系（其中p，q均为常数，）2．齐次二阶线性递推关系（其中p,q均为常数）3．分式

2、递推关系（其中p、q、r、h均为常数，且）二。特征根方程及求法1．的特征根方程为x=px+q,其根为,则=p()2.的特征根方程为设两实根为，(1).若时，则=，其中,是由，确定（2）。若=时，则其中,是由，确定3.的特征根方程为若方程的两根为，若且，则即｛｝等比数列若且，则即｛}等差数列三．例题分析例1．已知数列满足：求解:作特征方程数列是以为公比的等比数列。于是=（）例2。已知数列{｝满足=3，=6,=4-4求解:作特征方程x2=4x—4由特征根方程得==2故设=（+n),其中3=+,6=(+2).2所以=3,=0,则=3.例

3、3。已知数列{｝满足=3，=6，=2+3求解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3,=-1所以=+其中3=+，6=3—得=,=所以=。+例4。(2009江西)各项均为正数的数列{。｝=a,=b且对任意的m+n=p+q的正整数m,np，q都有当a=，b=求通项解：由得将代入上式化简得考虑特征方程得特征根所以所以数列是以为首项，公比为的等比数列故即例5：已知数列满足,求通项.解:考虑特征方程得特征根所以数列是以为首项，公差为1的等差数列故即数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈,而特征方程求数列的通项却为我们提供了一种简

4、便、快捷的方法。参考文献：1。吴学伟《高考数学专题讲座》2.《特征方程法是求数列通项公式》中学数学网2009。1