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1、特征方程特征根法求解数列通项公式2009年02月07日星期六下午11:31以下内容整理自课堂笔记咱们先来复习一下简单的，热热身：一：A(n+1)=pAn+q,p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ),则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1,其中q=2,p=1,则λ=1/（1-2）=-1那么A（n+1）+1=2（An+1）。。。。。。二：再来个有点意思的,三项之间的
2、关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p,mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①mn为（※）两根。 ②mn可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿 ③mn交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和
3、A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。例二：A1=1,A2=1,A(n+2)=-5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y=-5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A](1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A](2)所以，A（n+1）-3A（n）=-2^n (3) A（n+1）-2A（n）=-3^(n-1)
4、 (4)yousee消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】 斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0)=0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2. 则F
5、(n)=C1*X1^n+C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1+C2*X2 C1*X1^2+C2*X2^2 解得C1=1/√5，C2=-1/√5 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 则r+s=1,-rs=1 n≥3时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
6、F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 将以上n-2个式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) =s^(n-1)+r*s^(
7、n-2)+r^2*F(n-2) =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3) …… =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1) =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1) （这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和） =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =
8、(s^n-r^n)/(s-r) r+s=1,-rs=1的一解为s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2 则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}。。。。。。三：最后准备好了吗，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同时为零此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如数学归纳法一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那
