特征根法求数列的通项公式

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1、特征根法求数列的通项公式胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银730913）类型一、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p，q均为非零常数）.先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根.1）如果，则，成等比，很容易求通项公式.2）如果，则{}成等比.公比为，所以，转化成：，(I)又如果，则{}等差，公差为，所以，即：可以整理成通式：(Ii)如果，则令，，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式4所以，化简整理得：.小结：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程.若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、

2、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）.例1.已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，解得，令，由，得，.例2.已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，解得，令，由，得，.类型二、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有4，（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，其特征方程为，变形为若方程有二异根、，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值.这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得.若方程有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值.这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得.例3.已知

3、数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，.例4.已知数列满足，求数列的通项.4解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，.例5（2005，重庆,文,22）数列记（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前项和解：由已知,得,其特征方程为解之得,或,,由得，.4