专题 求递推数列通项的特征根法

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1、递归数列通项公式的求法　确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。基础知识定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；(2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；(3)已知数列的前项和为，则。二．迭

2、代法迭代恒等式：；迭乘恒等式：，()迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；类型二：已知，求通项；三．待定系数法类型三：已知，求通项；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。证明：设特征根为，则所以====即是以为公比，首项为的等比数列。所以，所以(1)当时，则其通项公式为，其中，；(2)当时，则其通项公式为，其中4.（改编）已知数列且则数列的通

3、项公式。命题意图：本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。参考答案：解法一：由得得∴故数列是以为首项以5为公比的等比数列∴=故解法二：由得得∴故数列是以为首项以为公比的等比数列∴=故解法三由得到该数列的一个特征方程即，解得或①②两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列∴,故。五．代换法代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下类型五：已知，，求通项。六．不动点法若，则称为的不动点

4、，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。类型六：(1)已知，且，求通项；(2)已知，求通项；七．数学归纳法八．构造法典例分析例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且成立，求。例2．已知数列{an}满足：，求。例3．数列满足，求。专题求递推数列通项的特征根法一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例1已知数列满足，求数列的通项例2已知数列满足，求数列的通项二、形如的数列对于数列，是

5、常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例3已知数列满足，求数列的通项例4已知数列满足，求数列的通项