求递推数列通项的特征根法与不动点法(20210312135426).docx

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1、精心整理求递推数列通项的特征根法与不动点法、形如an2pan1qan（p,q是常数）的数列形如印二ma二mi?,务2二pan1qan（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2二px•q…①若①有二异根〉，：，则可令an=cpnc/-n（C1,C2是待定常数）若①有二重根■■-■,则可令a^（C1-nc2^n（C1,C2是待定常数）再利用6=mi,a2=m2,可求得sq，进而求得a..例1.已知数列｛an｝满足ai=2忌=3,an.2=3an1-2an（n・N*），求数列｛a.｝的通项aC1=11，.an=12nj.解：其特征方程为x

2、2=3x-2，解得Xi=1,冷=2，令an=/Ci1nC22n,由臼7JQ=2，得Ia?=q'4c2—3卩2=2，令…nc2，.3n_2an=^nJ例2.已知数列｛an｝满足a1=1,a2=2,4an2=4an1-an(nN),求数列｛a.｝的通项a解：其特征方程为4x2=4x-1，解得x^i=x21ja1=(c1*c2)X；二1由21a?=(c2C2)、形如乳2=器的数列对于数列『=册，-=m,nN(A,B,C,D是常数且C=O,AD-BC=O)其特征方程为x二AxBCxD,变形为Cx2(D-A)x-B=O…②精心整理精心整理（其中c是待定常数），代入ai,a2

3、的若②有二异根：，则可令二Can4r—Pan—P精心整理值可求得c值.这样数列色是首项为色，公比为c的等比数列，于是这样可求得an2n-BJa1-0若②有二重根-■-■，则可令——11c(其中c是待定常数)，代入a1,a2an卅—僅an—J的值可求得c值.1an-a这样数列1是首项为1，公差为c的等差数列，于是这样可求得aan此方法又称不动点法.例3.已知数列｛a"｝满足a1g21『2)，求数列｛an｝的通项an解：其特征方程为x2x二2x1，化简得2八2=0,解得“也一1，令阳2貯3341由a1=2,得a2，可得c=53为首项，以已为公比的等比数列，詈壬百la

4、_<]■数列an是以gn+1Ja+13a3n-(-1)nan_3nM)n33例4.已知数列｛an｝满足a!=2,an12an_1(n・N*)，求数列｛an｝的通项a4an6解：其特征方程为x=^1，即4x2¥x10=，解得%=x2=—丄，令1=1+c4x62一1a.1an-22an■an由a^2,得a2是以12a+15an2ai12为首项，以1为公差的等差数列，152(nT)1二n-一，53精心整理13-5n10n-6