用特征根方程法求数列通项.doc

《用特征根方程法求数列通项.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、代数1.求证不等式：，第21页/共21页2.设，。证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（ⅰ），；（ⅱ）存在；（ⅲ），。[证]必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为，，其中．将上式从第1项加到第项，并注意到得．…10分由（ⅱ）可设，将上式取极限得，因此．…20分充分性：假设．定义多项式函数如下：，，则在[0,1]上是递增函数，且，．因此方程在[0,1]内有唯一的根，且，即．…30分下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且．因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．…40分最后验证满足（ⅲ），因，即，从而．综上，存在数列满足（ⅰ

2、），（ⅱ），（ⅲ）．…50分3.实数和正数使得有三个实根，且满足：①；②。求证：。第21页/共21页解：∵f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b]∴x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的两个根∵x2-x1=l∴(a+x)2-4(x32+ax3+b)=l23x32+2ax3+l2+4b-a2=0∵x3>(x1+x2)∴(Ⅰ)且4a2-12b-3l2≥0(Ⅱ)…………10分∵f(x)=x3+ax2+bx+c=…………20分∵f(x3)=0∴(Ⅲ)由(Ⅰ)得记p=，由(Ⅱ)和(Ⅲ)可知p≥且令y=，则y

3、≥0且…………30分∵==≥0∴…………40分∴取a=2,b=2,c=0,l=2，则f(x)=x3+ax2+bx+c有根，，0显然假设条件成立，且综上所述，的最大值是…………50分第21页/共21页4.设（），且，求的最大值与最小值。解：先求最小值，因为≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴最小值为1．………10分再求最大值，令∴①设，令则①⇔…………………………………………………………30分令＝0，则由柯西不等式得：等号成立⇔由于a1≥a2≥…≥an，从而，即xk≥0所求最大值为…………………………………………………50分第21页/共21页平

4、面几何张角定理：设A，C，B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA，PC，PB上的点，线段AC，CB对点P的张角分别为且，则A，C，B三点共线的充要条件是：.例1．如图，已知ABCD为四边形，两组对边延长后得到交点E，F，对角线BD//EF，AC的延长线交EF于G，求证：EG=GF.例2．已知的顶点A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，E为其内切圆圆心，AE交BC于D，求证：例3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：例4.如图，已知AM是的边BC上的中点，任作一直线顺次交AB，AC，AM于P，Q

5、，N，求证：成等差数列.第21页/共21页梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则证明：设分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：.注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件.例1若直角中，CK是斜边上的高，CE是的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：.【解析】因为在中，作的平分线BH，则：，，即，所以为等腰三角形，作BC上的高EP，则：，对于和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以.例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和，

6、试证：.【解析】若，结论显然成立；若AD与相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，，，，将上面四个式子相乘，可得：，即：第21页/共21页定理2设P、Q、R分别是的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于边上的点的个数为0或2，这时若，求证P、Q、R三点共线.证明：设直线PQ与直线AB交于，于是由定理1得：，又因为，则，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于边上的点的个数也为0或2，因此R与或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与同在AB线段上，则R与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当

7、R与同在AB的延长线上时，R与也重合，综上可得：P、Q、R三点共线.注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘.CBA例3点P位于的外接圆上；是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点共线.【解析】易得：，，，将上面三个式子相乘，且因为，，，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线.例4设不等腰的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上.第21页/共21页【解析】被直线XFE所截，由定理1可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，，将上面的式子相乘可得：，又因为X、Y、Z

8、丢不在的边