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1、高等数学教案第二章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求
2、反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。§2.1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数:s=f(t),求动点在时刻t0的速度.考虑比值,这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度.如果时
3、间间隔选较短,这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,更确地应当这样:令t-t0®0,高等数学课程建设组高等数学教案第二章导数与微分取比值的极限,如果这个极限存在,设为v,即,这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.2．切线问题设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT,直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C就是函数y=f(x)的图形.现在要确定曲线在点M(x0,y0)(y
4、0=f(x0))处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点M外另取C上一点N(x,y),于是割线MN的斜率为,其中j为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时,x®x0.如果当x®0时,上式的极限存在,设为k,即存在,则此极限k是割线斜率的极限,也就是切线的斜率.这里k=tana,其中a是切线MT的倾角.于是,通过点M(x0,f(x0))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为
5、如下的极限:.令Dx=x-x0,则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)=f(x)-f(x0),x®x0相当于Dx®0,于是成为或.定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Dx(点x0+Dx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0);如果Dy与Dx之比当Dx®0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为,即,高等数学课程建设组高等数学教案第二章导数与微分也可记为,或.函数f(x)
6、在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式,常见的有,.在实际中,需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于,也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导,这时,对于任一xÎI,都对应着f(x)的一个确定的导数值
7、.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数,记作,,,或.导函数的定义式:=.f¢(x0)与f¢(x)之间的关系:函数f(x)在点x0处的导数f¢(x)就是导函数f¢(x)在点x=x0处的函数值,即.导函数f¢(x)简称导数,而f¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f¢(x)在x0处的值.左右导数:所列极限存在,则定义f(x)在的左导数:;f(x)在的右导数:.如果极限存在,则称此极限值为函数在x0的左导数.如果极限存在,则称此极限值为函数在x0的右导数.导数与左右导数
8、的关系:Û.高等数学课程建设组高等数学教案第二章导数与微分2．求导数举例例1．求函数f(x)=C（C为常数）的导数.解:.即(C)¢=0.例2.求的导数.解:.例3.求的导数.解:.例2．求函数f(x)=xn(n为正整数)在x=a处的导数.解:f¢(a)(xn-1+axn-2+×××+an-1)=nan-1.把以上结果中的a换成x得f¢(x)=nxn-1,即(xn)¢=nxn-1.(C)¢=0,,,.更一般地,有(xm)¢=mxm-1,其中m为常数.例3．求函数f(x
