高等数学第2章 导数与微分

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1、第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的运算法则第三节函数的微分习题课第一节导数的概念第一节导数的概念第二章一两个实例二导数的定义导数与微分三左、右导数四导数的几何意义五函数可导与连续的关系吴新民--11-第一节导数的概念一两个实例1自由落体运动的瞬时速度问题第二章如图,求t时刻的瞬时速度,0取一邻近于t0的时刻t,运动时间t,t0导数与微分tss(t)s(t)t0平均速度vttt0当tt时,取极限得0s(t)s(t0)s(t0t)s(t0)瞬时速度vlimlim.tt0t

2、t0t0t吴新民--22-第一节导数的概念2切线问题割线的极限位置——切线位置y第二章yf()xN导数与微分NNNNNNMOxxxxxxxxx0吴新民--33-第一节导数的概念如果动点N沿曲线Cyyfx()趋向于定点M，割线MNN第二章绕点M旋转而趋向极限位T置MT,直线MT就称为曲CM导数与微分线C在点M处的切线.ox0xx设M(x,y),N(x,y).割线MN的斜率为00yyf(x)f(x)00tan,xxxx00沿曲线CNM,xx0,切线MT的斜率为ktanli

3、mf(x)f(x0)f(x0x)f(x0)limxx0xx0x0x吴新民--44-第一节导数的概念二导数的定义定义1设函数yfx()在点x的某个邻域内有定义,0当自变量x在x处取得增量x(xx仍在这个邻域第二章00内)时,相应的函数在y取得增量yfx()xfx(),00导数与微分如果y与x的比，在x0的极限存在,则称函数yfx()在点x处是可导的,并称这个极限为yfx()0在点x处的导数,记为：0dydfyxx0或dxxx0或fx()0或dxxx0.

4、吴新民--55-第一节导数的概念yfx()xfx()即ylimlim00xx0x0xx0xfxhfx()()00其它形式fx()lim0h0h第二章fxfx()()fx()00limxx0xx0导数与微分关于导数的说明：函数yfx()在点x0处的导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.对于在点x0处连续的函数yf(x),如果f(xx)f(x)00lim(或或)x0x吴新民--66-第一节导数的概念我

5、们则称f(x)在x0处的导数是无穷大(实际上导数是不存在的),记为f(x)(或或).0如果函数yfx()在开区间I内每一点处都可导，则第二章称函数fx()在开区间I内是可导的.对于开区间I中每一点x，都对应着fx()的一个确定导数与微分的导数值,这个函数称为函数fx()的导函数,记为ddyfx()yfx,(),或.ddxx即fxhfx()()fx()lim.h0h吴新民--77-第一节导数的概念注意:f(x0)f(x)xx0.例1求函数f(x)C(C为常数)的导数.第二章

6、f(xh)f(x)CC解f(x)limlim.0h0hh0h即(C).0导数与微分例2设函数f(x)sinx,求(sinx)及(sinx).x4sin(xhx)sinhsinh2解(sin)xlimlimcos(x)h02hh0h2cosx.2即(sinx)cosx(sinx)cosx.xx244吴新民--88-第一节导数的概念同理(cos)xsinxn例3求函数yx(n为正整数)的导数.第二章()xhxnnnlim解()x

7、h0h导数与微分n1n(n)1n2n1n1lim[nxxhh]nxh0!2nn1即(x)nx.1更一般地(x)x0(,x,R)11111例如,(x)x2.(x1)()1x11.222xx吴新民--99-第一节导数的概念x例4求函数f(x)a(a,0a)1的导数.xhxhxaaxa1x解()alimalimalna.h0hh0h第二章xxxx即(a)alna(a,0a)1()ee导数与微分例5求函数

8、ylogx(a,0a)1的导数.alog(xhx)logln(1h)1aax解ylimlimh0hh0hxlnax1.xlna11(logx)(a,0a)1(ln)xaxxlna吴新民--1010-第一节导数的概念三左、右导数定义2设函数yf(x)在区间[,)x0b有定义，如果极限第二章f(xh)f(x)00limh0h导数与微分存在，则