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《高等数学第2章导数与微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.1导数的概念历史背景数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学•微分学和积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基木、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型乞一・恩格斯曾指出「'在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了•”微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材•积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直到16世纪才应运萌生.从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工
2、业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而16世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的问题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提击的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1)求变速运动的瞬时速度；(2)求曲线上一点处的切线；(3)求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原形在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的定义.注：(1
3、)恩格斯(F.Engels,1820-1895),德国哲学家，马克思主义创始人之一.(2)牛顿(I.Newton,1642-1727),英国数学家.(3)莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716),徳国数学家.引例1.变速直线运动的瞬时速度设物体沿直线作变速运动，其经过的路程F与时间f的函数关系是5=5（Z）,求该物体在时刻（0处的瞬时速度V设物体从『0到!（）+△/时间段经过的路程为山，即A5=5（r0+Af）-5（r0）,于是该物体在时间段内运动的平均速度—A55（/q+A/）—5（Zq）V=——=—Ar△/如杲物体作匀速运动，则0是常数，它就是物体在时刻的瞬吋速度，但在变速
4、运动中，0是随时I'可d的不同取值而不同，平均速度0只是G吋刻速度的近似值，而且越小，这种近似程度就越好，于是当T0吋，平均速度0就应趋向于物体在吋刻山处的瞬吋速度卩・即有r一rA.s..s（f（）+△/）-$（/（））K=hmv=lim——二lim攵——3t（）A/t（）MAttOM变速直线运动在时刻r（）处的瞬时速度反映了路程$对时刻/变化快慢的程度，因此，速度旷又称为路程$在时刻山处的变化率.2.曲线切线的斜率设/是坐标平面内的一条曲线,其方程为y=f（x）.Mo（%儿）是曲线l上的一点,求曲线在该点处切线M0T的斜率R.在点附近任取一点M（兀°+Ar,y0+Ay）?作割线倾角为0,其
5、斜率为何二怡110=怂，当M沿曲线/接近叽点时，割线就越Ax接近切线，从而割线的斜率就越接近切线的斜率.换句话说，丨心越小，其接近程度就越尚，从而当心TO时，点M就沿着曲线趋向于Mo,割线M°M就趋向于曲线在Mo处的切线M°T,于是割线M°M的斜率心就应趋向于切线UoT的斜率设切线M°T倾角为G,则k=temQ=limtan心to2x心t°Ax曲线/在点M()处的切线反映了曲线y=/(X)在点叽处升降的快慢程度.因此，切线斜率£,又称为曲线y=/(兀)在无=兀°处的变化率.上述两个实例，一个是运动问题，一个是几何问题，虽然所研究的问题内容不同，但数学模型却是一样的，都是求函数的改变量与自变
6、量的改变量之比在自变量的改变量趋于零时的极限.此外，还有很多理论或实际问题，也耍求计算这种类型的极限，如电流强度、线速度、角速度等，这些都是变化率问题；对于它们的讨论与研究，也都可归为求这类极限的问题.因此撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，便得出了函数导数的概念.一、导数1、导数设函数y=/(x)在点兀。的某一邻城内有定义，当自变量在点兀处取得增量心(心H0)时，函数/(劝取得相应的增量Ay=f(xQ+Ar)一/(x0),若Axt0时，极限lim冬=Hm心心)一心山toAx山toAx存在，则称此极限为/(x)在兀°处的导数，记为/©。),或记为几和譽X=XQ妙（兀）dx并称函
7、数y=/(x)在点心处可导，即厂仇)=lim空=lim込竺匕迪山toAx心toAx若极限lim怂不存在，则称函数y=f(x)在兀。处不可导.山t°Ax注：(1)如果不可导的原因是极限为无穷大，则导数是不存在的，但为了以后方便起见，也称函数J=f（x）在兀0处的导数为无穷大.（2）导数概念是函数变化率的精确描述，撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质：函数增
