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《高等数学D-第3章导数与微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1第三章导数与微分3.1导数的概念3.3导数公式导数运算法则3.2函数的可导性与连续性3.4导数的实际应用3.5高阶导数3.6微分的概念3.7微分公式和法则3.8微分的应用2问题1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时刻的瞬时速度v(t0).平均速度解若运动是匀速的,瞬时速度就等于平均速度。关系质点走过的路程,00tttD+®从时刻3.1导数的概念差商3它越近似表定义为并称之为t0时的瞬时速度v(t0).若运动是非匀速的,平均速度就是这段时间内运动快慢的平均值,越小,明t0时刻运动的快慢.因此,人
2、们把t0时的速度0lim®Dt4例.已知自由落体运动的运动公式是在任意时刻的瞬时速度是：0lim®Dt5问题2割线的极限位置——对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题若已知平面曲线如何作过的切线呢？切线位置.曲线上点法国数学家费马1629年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题.6处切线的斜率.已知曲线的方程确定点MN为割线，当点N沿曲线趋于点M时,现在来解决以下问题：则MT为点M处的如图,MN旋转而趋向极限位置MT,切线.7割线MN的斜率为切线MT的斜率为差商差商的极限0limxx®8曲线在点的切线是解：令，
3、得到切线斜率所求切线是：在例处的切线.求函数处的差商求函数在9就其实际意义来说各不相同,关系上有如下的共性:但在数量1.在问题提法上,都是已知一个函数求y关于x在x0处的变化率.2.计算方法上,上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,均需要做以下极限运算：10定义二、导数的定义存在,则称函数在点如果函数在处的差商的极限可导，并称这个极限为函数或记为处不可导或导数不存在.当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x011注写成多种形式:导数定义可以或令则(2)(3)(1)12关于导数的说明点导数是函数在点x0处的变化率,它反映了函
4、数随自变量的变化而变化的快慢程度，即函数的变化率.无论何种形式，其本质在于(1)函数增量与自变量增量之比；(2)变化过程为自变量增量趋近于零.13(1)变速直线运动的物体在的瞬时速度是路程函数在点处的导数，即(2)曲线在的切线斜率k是函数处的导数，即有了导数的概念，则14特别地:即三、导数的几何意义由切线问题，切线的斜率就是极限值))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在点则曲线若==¢;轴的切线平行于Ox1516例求函数在处的导数.解：按照导数定义的另一种形式：处的导数：在1735例用导数表示下列极限解练习解18如果函
5、数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.四、导函数定义3.2记作对于任一都对应着f(x)的一个确定的导数值.这个函数称为f(x)的导函数.导函数简称为导数.从而确定了一个以x为自变量，以导数值为因变量的新的函数，19注或函数在某点的导数就是导函数在这点的函数值根据导数的定义，20例解五、求导举例(几个基本初等函数的导数)步骤即21例解更一般地如即22例解即同理可得课下练习23例解即24例解即253.1导数的概念小结1.导数定义(2)(3)(1)262.导数意义273.2函数的可导性与连续性一定不
6、可导.从右图可见，在处没有切线因而不可导，处连续.从左图可见，函数在点处不连续，没有切线，却在28定理3.1证明：即从而3.2函数的可导性与连续性该定理的逆定理不一定成立.注29例讨论函数在x=0处的连续性和可导性.解在x=0处的连续性是显然的.但在x=0处，由于所以是不可导的.问：函数在此点处，是不是不存在切线？事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！30例解31如,该定理的逆定理不一定成立.注连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.327分段函数求导函数导数的公式是一个极限式，和右极限的概念.也有左极限左极限的左导数，称为函数
7、在点记作右极限的右导数，称为函数在点记作33如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数在点的导数不存在.直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.34例求西瓜的价格函数的导数.解：在就是西瓜的单价.导数在分段点，右导数左导数不存在.结论:的导数不存在.事实上函数在不连续，因此一定不可导.注：在函数在点35连续可导3.2函数的可导性与连续性小结连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.363.3导数公式导数运算法则1.常数和基本初等函数的导数公式（第48页）373.反函数的求导法则４．复合函数的求导法则2.函数的线性组合、积、商
8、的求导法则5、隐函数的求导法则6、对数求导法7、分段函数求导1.常数和基本初等函数的导数公式（第48页）3.3导数公式导数运算法则382.函数的线性组合、积、商的求导法则39法则(2)的证明：（其中，是因为的连续性）40例解例解：求
