最新两向量的混和积95教学讲义PPT.ppt

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1、两向量的混和积95则有设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式ijk,cxcycz,ijk混合积性质：(1)[]=[]=[]=–[]=–[]=–[]所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。§3　平面及其方程(一)平面的点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.一、平面方程2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).对于平面上

2、任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOnM0M=0而M0M=(xx0,yy0,zz0),得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(3,4,6)M1M3=(2,3,1)可取n=M1M2M1M3=14i+9jk例2:求

3、过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三点式方程设平面过不共线的三点M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),M1(x1,y1,z1),对于平面上任一点M(x,y,z),平面的三点式方程.(2)设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点oyPxzQR(三)平面的截距式方程则有得当非零时(3)(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方程.A

4、x+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=(A,B,C)证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为它表示过定点,且法向量为n=(A,B,C)的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4)称为平面的一般方程.例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(23,4)2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0Ax

5、+By+Cz+D=0(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x轴上的单位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是By+D=0;平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)例4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方

6、程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By3Bz=0即:y3z=01n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1=(A1,B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2=(A2,B2,C2)1.定义1两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.二、两平面的夹角所以1n1n22平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0特别:例5:

7、一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量n=(A,B,C)已知平面x+y+z=0的法向量n1=(1,1,1)所以:nM1M2且nn1而M1M2=(1,0,2)于是:A(1)+B0+C(2)=0A1+B1+C1=0解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=(2,1,1)所以,所求平面方程是2