两向量的向量积.ppt

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1、二、两向量的向量积一、两向量的数量积§7.2数量积向量积一、两向量的数量积设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2.以s表示位移.数量积的物理背景由物理学知道,力F所作的功为W

2、F

3、

4、s

5、cos,其中为F与s的夹角.对于两个向量a和b,它们的模

6、a

7、、

8、b

9、及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b

10、a

11、

12、b

13、cos.数量积的定义根据数量积,力F所作的功W就是力F与位移s的数量积,即WFs.一、两向量的数量积数量积与投影由于

14、b

15、cos

16、b

17、cos(a,^b),当a0时,

18、b

19、cos(a

20、,^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是a·b

21、a

22、Prjab.同理,当b0时,a·b

23、b

24、Prjba.所以,对于两个向量a和b,它们的模

25、a

26、、

27、b

28、及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b

29、a

30、

31、b

32、cos.数量积的定义一、两向量的数量积数量积的性质(1)a·a

33、a

34、2.(2)对于两个非零向量a、b,如果a·b0,则ab;反之,如果ab,则a·b0.如果认为零向量与任何向量都垂直,则aba·b0.对于两个向量a和b,它们的模

35、a

36、、

37、b

38、及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的

39、数量积,记作ab,即a·b

40、a

41、

42、b

43、cos.数量积的定义一、两向量的数量积数量积的运算律(1)交换律:a·bb·a;(2)分配律:(ab)·ca·cb·c.>>>(3)(a)·ba·(b)(a·b),(a)·(b)(a·b),其中、为数.对于两个向量a和b,它们的模

44、a

45、、

46、b

47、及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b

48、a

49、

50、b

51、cos.数量积的定义一、两向量的数量积例1试用向量证明三角形的余弦定理.要证c2=a2+b2-2abcosq.则有ca-b,从而

52、c

53、2c

54、c(a-b)(a-b)aa+bb-2ab

55、a

56、2+

57、b

58、2-2

59、a

60、

61、b

62、cos(a,^b),即c2a2+b2-2abcosq.证明在DABC中,∠BCAq,

63、CB

64、=a,

65、CA

66、=b,

67、AB

68、=c,提示：数量积的坐标表示aaxiayjazk,bbxibyjbzk,a·b(axiayjazk)·(bxibyjbzk)axbxi·iaxbyi·jaxbzi·kaybxj·iaybyj·jaybzj·kazbxk·iazbyk·jazbzk·kaxbxaybyazbz.a·baxb

69、xaybyazbz.设a(axayaz)b(bxbybz)则数量积的坐标表示a·baxbxaybyazbz.设a(axayaz)a(bxbybz)则设(a^b)则当a0、b0时,有向量夹角余弦的坐标表示提示a·b

70、a

71、

72、b

73、cos例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则AMB就是向量a与b的夹角.2011

74、

75、222=++=a,2101

76、

77、222=++=b,因为ab1110011,b

78、(2,1,2)(1,1,1)a(2,2,1)(1,1,1)(1,1,0),(1,0,1).解从而,所求液体的质量为P=rAv·n.体积为A

79、v

80、cosq=Av·n.这柱体的高为

81、v

82、cosq,解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为

83、v

84、的斜柱体.例3在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A,n为垂直于A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r).二、两向量的向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:c的模

85、c

86、

87、a

88、

89、b

90、sin(a,^b);c的方向垂直于a与b所

91、决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.向量积的定义右手规则那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作ab,即cab.向量积的定义二、两向量的向量积向量a与b的向量积cab:

92、c

93、

94、a

95、

96、b

97、sin(a,^b);c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.向量积的性质(1)aa0;(2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则a//b;反之,如果a//b,则ab0.如果认为零向量与任何向量都平行,则a//bab0.在空间直角坐标系中iijjkk?ij?jk?ki

98、?(1)交换律:abba;(2)分配律:(ab)cacbc;(3)(a)ba(b)(ab)(为数).向量积的运算律讨论：提示