两向量的混和积(I)

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1、三、两向量的混和积1.定义2称与的向量积再与向量的数量积为向量,,[]＝()即的混合积，记作[]设有三个向量,,,则有设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式ijk,cxcycz,ijk混合积性质：(1)[]=[]=[]=–[]=–[]=–[]事实上，若,,在同一个平面上，则垂直于它们所在的平面，故垂直于,即()=0(2),,共面[]=0混合积()

2、的绝对值等于以,,为棱的平行六面体的体积V的数值。h平行六面体所以，=

3、()

4、3、混合积()的几何意义hV=Sh=底面积高h为在上的投影的绝对值ab=

5、a

6、Prjab例5:已知空间内不在一个平面上的四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)求四面体ABCD的体积。解：四面体ABCD的体积等于以AB,AC和AD为棱的平行六面体体积的六分之一，AB=(x2–x1,y2–y1,z2–z1),AC=(x3–x1,y3–y1,z3–z1),AD=(x4

7、–x1,y4–y1,z4–z1),即所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。§3平面及其方程(一)平面的点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.一、平面方程2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOnM0M=0而M0M=(xx0,yy0,zz0),得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz

8、0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(3,4,6)M1M3=(2,3,1)可取n=M1M2M1M3=14i+9jk例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14

9、(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三点式方程设平面过不共线的三点M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),M1(x1,y1,z1),对于平面上任一点M(x,y,z),平面的三点式方程.(2)设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点oyPxzQR(三)平面的截距式方程则有得当非零时(3)(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n

10、=(A,B,C)证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为它表示过定点,且法向量为n=(A,B,C)的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4)称为平面的一般方程.例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(23,4)2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0Ax+By+

11、Cz+D=0(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x轴上的单位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是By+D=0;平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)例

12、4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所