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1、个人收集整理勿做商业用途九章 直线、平面、简单的几何体9。1～9.2 平面的基本性质以及平行直线和异面直线一、教学重点和难点：1.认真体会平面是无限延展的,它无大小之分，仅有位置上的区别；2.三个公理及三个推论在运用上的各自分工；3.正确理解异面直线的概念,并能够利用平移法作出异面直线所成的角;4.难点是养成良好的空间作图习惯和思维方法，特别是集合符号的合理利用。二、知识精讲：1。平面的概念:（1)平面是一个只描述不定义的基本概念。具体的例如：桌面、黑板面、平静的水面,我们可以认识到“平面”是绝对平坦，没有厚度,没有边界无限延展
2、的一个理想的几何图形。(2）记为：，平面ABCD或平面AC。（3）画多个平面时，一个平面被另一个平面遮住的线段要画成虚线或不画.(4)图形语言为: 2.（1)公理1：图形语言 符号语言：(2）公理2:图形语言 符号语言:（3）公理3：图形语言 符号语言:A、B、C不共线存在唯一平面使得 3。推论：（推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面） 已知：直线a、b且． 求证：过a、b有且只有一个平面． 证法一：①存在性个人收集整理勿做商业用途 在直线a、
3、b上分别取不同于点P的点A、B， 则点A、B、P是不共线的三点（否则与a、b是两条相交直线矛盾）． 根据公理3，过A、B、P三点有一个平面． ，即． 同理,因此过直线a、b有平面．②唯一性 ∵经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P，根据公理3，经过不共线的三点A、B、P的平面只有一个，∴经过a、b的平面只有一个．由①、②，可知经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 已知：直线a、b且a//b． 求证:经过a、b有且只有一个平面． 证明：①存在性
4、∵a//b,由平行线的定义，a、b在同一平面内， ∴过直线a、b有一个平面． ②唯一性 在直线b上任取一点B, 则(否则与a//b矛盾),且B、a在过a、b的平面内． 又由推论1，过点B和直线a的平面只有一个， ∴过直线a、b的平面只有一个． 由①、②，可知经过两条平行直线的平面有且只有一个． 4.空间两直线的位置关系：名 称含 义符号表示图 示相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内,没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点且个人收集整理勿做商业用途（2）两条异面直线所成的角． 5。集合符号的利
5、用:点A在平面内，记作，否则点A在直线l上，记作，否则直线l在平面内，记作，否则直线l1与l2相交于A点，记作三、典型范例1.平面的概念:例1。判断下列说法是否正确?并说明理由： （1）平等四边形是一个平面． （2)任何一个平面图形都是一个平面．(3）在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都画成虚线．（4)用平行四边形表示的平面，以四边为边界． 解:（1)不正确，平面是无限延展的，而平行四边形是有限的，它只是平面的一部分．(2)不正确，平面图形和平面是完全不同的概念，平面图形有的(如角）也可以无限延展,但不可能向四
6、周无限延展．(3）不正确,空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线（无论原先有的还是后来画的辅助线）．（4）不正确,平面是没有边界的．2.共点、共线、共面问题： 例2.四条直线两两相交且任何三条都不交于一点，则这四条直线共面．分析：说明四条直线共面，必须先找到一个平面，再想办法说明这四条直线都在这个平面内．已知：如图a、b、c、d两两相交且任何三条不交于一点，求证：a、b、c、d共面．证法一：，确定一个平面（推论2）． ， ,即（公理1）． 同理． 共面．点拨：证明直线(或点)共面,一般先由其中的一部分或点确定一个平面，
7、再由公理1，公理3及其推论证明其余的直线或点也在这个平面内． 例3.已知：四边形ABCD,AB//CD，直线AB、BC、CD、DA交平面于E、G、F、H，个人收集整理勿做商业用途求证:E、F、G、H四点共线．证明:如图9－1－6． ∵AB//CD，∴AB、CD确定平面． ∵E、F、G、H分别在直线AB、CD、BC、AD上，∴E、F、G、H都在内．图9－1－6 又∵E、F、G、H都在内，不是同一个平面且有交点， 有且只有一条交线l，即． ∴E、F、G、H，即E、F、G、H共线．点拨:公里2中两个平面的交线是由这
8、两个平面中所有公共点组成的集合，因此公理2往往用来证明多点共线问题，也常常用来证明像下例中的多线共点问题． 例4。如图9－1－7,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC、CD上的点，且直线EF和GH交于一点,求证：EF、BD、GH交于一点．证
