2016新课标创新人教A版数学选修4-52.1比较法.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途[核心必知]比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明a>b，只要证明a－b>0要证明a０，只要证明>１要证明b＞a＞０，只要证明＞1步骤作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论作商→恒等变形→判断与１的大小→得出结论[问题思考]１.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么？个人收集整理勿做商业用途提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子)与0的大小关系.2．作商比较法主要适用类

2、型是什么？实质是什么?提示:作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子）与1的大小关系.求证：(1)ａ2＋b２≥２(a-b-1);（２)若a＞b>c,则bc2＋ｃa2+ab2＜ｂ2c＋ｃ２a＋a2b.[精讲详析]　本题考查作差比较法的应用.解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．（1)ａ2＋ｂ2－2(a－b-１)=(a-1)2+(b＋１)2≥0，∴ａ2+ｂ２≥2(a－ｂ-1)．(2)bc２＋ca2+ab2-(ｂ２c+c2ａ+ａ2b)＝(bｃ2－c２ａ)+(ca2-ｂ2ｃ)

3、+(ab2-ａ２b)=c２(b-a)＋c(a-b）(a+b)+ab(b－ａ)个人收集整理勿做商业用途=(b－a)(c2－ac-bｃ+ａｂ）＝（ｂ－a)(ｃ-a）（c-b),∵a>ｂ>ｃ，∴b－a＜0，c－a<0，c-b<0．∴(ｂ－ａ)(c-a)(c-ｂ)＜０.∴bc2＋cａ2＋ab2

4、法.(3）因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论．1．（江苏高考)已知a≥b>0,求证:２ａ3-b3≥２ａｂ2－a2ｂ.证明：２a3-b3－(２ａｂ2－ａ２b)＝2a(a２－b2）＋b（a2-b2）=（ａ2-ｂ２)(2a+b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋ｂ).因为a≥b>０，所以a－b≥0，ａ＋b>０，２a+ｂ>０，从而(a-b)(a＋b)(2a＋b)≥0,即２a3－b3≥２

5、ab2-a2b.个人收集整理勿做商业用途　　已知a＞2，求证:ｌoga（a-1)２，∴a-1>1.∴loga（a－１)>0,lｏg(ａ＋1)a>0，由于＝lｏｇa(a-1)·loｇa(a＋1）＜=.∵a>2,∴０＜loｇａ(a２－1)＜logaa2＝2．∴<＝1,即<1.∵log(ａ＋1)a>０，∴logａ(ａ－1)<ｌｏg(a＋1)a．（１)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外,要比较的

6、两个解析式均为正值,且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．（２）在作商比较法中>1⇒a>b是不正确的,这与a、b的符号有关，比如若ｂ>0，由＞1，可得a>b，但若ｂ<０，则由>1得出的反而是a＜b,也就是说，在作商比较法中,要对a、b的符号作出判断，否则，结论将有可能是错误的．对于此类问题，不外乎可分为含参数变量的和大小固定的两类,因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程．个人收集整理勿做商业用途2．设a>0，b>0,求证:aabb≥(aｂ).证明:∵aａbｂ>0，(ａb)＞0,∴＝a·b=.当a＝ｂ时，显然有=1.

7、当a>ｂ>0时，>1,>0．当ｂ>ａ>0时,0<＜1,＜0.由指数函数的单调性，有>.即>1．综上可知，对任意实数a、b,都有ａａｂb≥（ab）．甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠ｎ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精讲详析］　本题考查比较法在实际问题中的应用,解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间ｔ１、t２，然后利用作差法比较ｔ1，t2的大小即可.设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路

8、程所用的时间分别为t１、t2,依题意有:ｍ+ｎ＝s，+＝t２.个人收集整理勿做商