[整理]复数与复变函数课件第五章-留数课件ppt.ppt

《[整理]复数与复变函数课件第五章-留数课件ppt.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复数与复变函数课件第五章-留数主要内容本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立奇点四、孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类则称为的零点；(1)若所谓函数的零点就是方程的根。定义设函数在处解析，(2)若在处解析且则称为的m阶零点。二、零点P81定义5.3二、零点定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m阶零点。(2)其中，(3)在内的泰勒展开式为充要条件(如何判断零点的阶数?)(进入证明?)其中，

2、二、零点充要条件(如何判断零点的阶数?)定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m阶零点。(2)(3)在内的泰勒展开式为收敛且解析是的三阶零点。是的三阶零点。方法一方法二三、孤立奇点邻域内解析，则称为孤立奇点。使得在去心且存在定义设为的奇点，例为孤立奇点。例原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点。P79定义5.1例(1)令为孤立奇点；(2)也是奇点，但不是孤立奇点。邻域内解析，则称为孤立奇点。使得在去心定义设为的奇点，且存在三、孤立奇点xyo这说明奇点未必是孤立的.函数的实部注:若函数的奇点个数

3、有限，则每一奇点都是孤立奇点.四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类将在内定义设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(1)若有则称为的可去奇点。(即不含负幂次项)P79四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：则称为的N阶极点；(即含有限个负幂次项)(2)若有且有特别地，当时，称为的简单极点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(即含无限个负幂次

4、项)(3)若有则称为的本性奇点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：小结(1)可去奇点不含负幂次项；(2)N阶极点含有限多的负幂次项,且最高负幂次为N；(3)本性奇点含有无穷多的负幂次项。可去奇点本性奇点N阶极点可去奇点本性奇点N阶极点五、如何进行孤立奇点的分类定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：可去奇点的判定方法(不含负幂次项)解是的奇点，由是的可去奇点。可知，将在的去心邻域展成洛朗级数，有或如果约定在点的值为1，则在点就

5、解析了，因此称为的可去奇点。定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是N阶极点的特征）：(iii)z0是的N阶零点.(可去奇点作为解析点看)N阶极点的判定方法定理若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是与不存在极限的区别定理若零点，则(1)当时，(2)当时，即为的可去奇点。为的(n-m)阶极点。且为的n阶零点，为的m阶(含有限个负幂次项，且最高负幂次为2)解是的奇点，由是的极点。可知，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注可见，为的二阶极点。本性奇点的判定方法定理z0为f(z)的本

6、性奇点解是的奇点，考察极限是的本性奇点。因此，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注(含无穷多个负幂次项)由不存在且不为可知，是的一阶极点。判断函数的奇点的类型。例是的二阶极点。解由于是的可去奇点，故解由于是的一阶极点，故由于是的四阶零点，解故是的二阶极点。将在的去心邻域内展成洛朗级数，有因此，为的二阶极点。注直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握且是的二阶零点，总结:孤立奇点可去奇点N阶极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂

7、为小结一、引言本章重点解决闭路积分问题。DrC如图，考虑积分(1)若在G上连续，在D上解析，则(2)若在D上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?”得到。G§5.2留数一留数的概念二留数的计算方法0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)5.2留数一、留数的概念将在的去心邻域设为函数的孤立奇点，定义称为在处的留数，记作：内展开成洛朗级数：(两边积分)其中，C是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。P83定义5.6(留数的产生)而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。二、留数的计算方

8、法若为的可去奇点，方法1.可去奇点若为的本性奇点，方法2.本性奇点则“只好”将在的去心邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出“完整”的洛朗级数，注只需将其中负一次幂的系数求出来就可以了。(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，则(1)若为的简单极点，特别则(2)若且在点解析，则P84法则3二、留数的计算方法3.极点方法(法则)若为的m阶极点，P84法则2是的可去奇点