2、A.Δx-3B.(Δx)2-3ΔxC.-3D.0【解析】选C.f′(0)=-7-/7高考==(Δx-3)=-3.4.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上一点,且f′(x0)=0,则点P的坐标为( )A.(1,10)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-1,10)【解析】选B.===3Δx+6x0+6,所以f′(x0)==(3Δx+6x0+6)=6x0+6=0,所以x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y0=-2.所以P点坐标为(-1,-2).二、填空题(每小题5分,共10分)5.设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a=________. 【解析】f
3、′(1)===a=3.答案:36.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴,直线x=a围成的三角形的面积为,则a=________. -7-/7高考【解析】因为f′(a)==3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切线与x轴的交点为,由题设知三角形面积为·
4、a3
5、=,解得a=±1.答案:±1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知抛物线y=f(x)=x2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的切线方程.【解析】由方程组得x2-2x+1=0,解得x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4),又=Δx+2.当Δx趋近于0时,Δx+2
6、趋近于2.所以在点(1,4)处的切线斜率k=2.所以切线方程为y-4=2(x-1),即y=2x+2.8.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程.(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?【解析】(1)将x=1代入y=x3得y=1,所以切点为P(1,1).-7-/7高考因为y′====[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,所以y′
7、x=1=3.所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).说明切线与
8、曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).(15分钟·30分)1.(5分)(2020·琼山高二检测)设函数f(x)=x2+ax,且=1,则a=( )A.-B.-C.1D.-1【解析】选D.若=1,即=2+a=1,解得a=-1.2.(5分)已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2020的值为( )A.B.C.D.-7-/7高考【解析】选D.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所
9、以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以=-,故数列的前n项和为Sn=+++…+=1-,所以S2020=1-=.3.(5分)已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a=________. 【解析】由导数的定义可求得y′==2ax,所以曲线斜率k=2ax=1,所以x=,y=-1.代入y=ax2,可解得a=.答案:4.(5分)已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R).若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,则实数a的取值X围为________. 【解析】由题意,得f′(x)==3x2-3a=-1无解,即3x2-3a+1=0无解,故Δ<0,解得
10、a<.答案:5.(10分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为T(t)=+15,其中T(t)(单位:℃)为蜥蜴的体温,t(单位:min)为太阳落山后的时间.(1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少?-7-/7高考(2)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?(3)求T′(5),并解释它的实际意义.【解析】(1)T(10)-T(0)=+15-=-16,即从t=0
