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《2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.2导数及其几何意义学案含解析新人教B版选择性必修第三册20210326263.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考6.1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1.(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率=无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)=k.“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f′(x0)=.(2)瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′(x
2、0)Δx.(1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示:当Δx→0时,平均变化率的极限存在,则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数.(2)函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等.2.导数的几何意义-11-/11高考(1)割线:一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点,P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2)切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处
3、(也称在x=x0处)的切线的斜率.切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.(2)曲线的切线与导数有什么关系?提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,例如f(x)=在x=0处有切线,但不可导.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数
4、y=f(x)在点x=x0处的函数值.( )(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值.( )(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.( )(4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.( )提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值.-11-/11高考(2)×.函数y=f
5、(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值.(3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.(4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.2.函数f(x)在x0处可导,则( )A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.与x0,h均无关D.仅与h有关,而与x0无关【解析】选B.因为f′(x0)=,所以
6、f′(x0)仅与x0有关,与h无关.3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′
7、x=2等于________. 【解析】因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y′
8、x=2=3.答案:3关键能力·素养形成类型一求函数在某点处的导数【典例】求函数y=x+在x=1处的导数.【思维·引】先求,再求得结果.【解析】因为Δy=(1+Δx)+-(1+1)-11-/11高考=Δx+-1,所以=1-,所以==0.【素养·探】在求函数在某点处的导数时,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数定义,通过计算求得.将本例中的函数改为y=3x+2,结果
9、如何?【解析】===3.【类题·通】求函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数的三个步骤简称:一差、二比、三极限.【习练·破】利用导数的定义,求函数y=+2在x=1处的导数.【解析】因为Δy=-=,=-11-/11高考=,所以y′
10、x=1===-2.【加练·固】已知函数f(x)在x=1处存在导数,则=( )A.f′(1) B.3f′(1) C.f′(1) D.f′(3)【解析】选C.==f′(1).类型二导数的意义在实际问题中的应用【典例】一质点做抛物
