2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.2.2.2函数的导数与最值课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册.doc

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1、课时素养评价十九　函数的导数与最值(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.函数f(x)=x3-6x(

2、x

3、<1)(　　)A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-6=3(x+)(x-),因为x∈(-1,1),所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.2.函数y=f(x)=的最大值为(　　)A

4、.e-1B.eC.e2D.10【解析】选A.令y′==0得x=e.当x>e时,y′<0;当00,所以y极大值=f(e)=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.3.(2020·开封高二检测)若函数f(x)=x+2sinx,则当x∈[0,π]时,f(x)的最大值为(　　)A.+2B.+3C.+2D.+【解析】选D.f′(x)=1+2cosx,当00,f(x)单调递增;当

5、.(多选题)若函数exf(x)(e=2.718…,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.给出的下列函数不具有M性质的为(　　)A.f(x)=lnxB.f(x)=x2+1C.f(x)=sinxD.f(x)=x3【解析】选CD.对于A,f(x)=lnx,则g(x)=exlnx,则g′(x)=ex,令y=lnx+,所以y′=-=,令y′=0,x=1.当01时,y′>0,y单调递增.所以当x=1时,ymin=ln1+=1>0,

6、所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)=lnx具有M性质;对于B,f(x)=x2+1,则g(x)=exf(x)=ex(x2+1),g′(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)2>0在实数集R上恒成立,所以g(x)=exf(x)在定义域R上是增函数,所以f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sinx,则g(x)=exsinx,g′(x)=ex(sinx+cosx)=exsin,显然g(x)不单调;对于D,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=ex

7、x3,g′(x)=exx3+3exx2=ex(x3+3x2)=exx2(x+3),当x<-3时,g′(x)<0,所以g(x)=exf(x)在定义域R上先减后增;所以具有M性质的函数的选项为A,B,不具有M性质的函数的选项为C、D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为______. 【解析】f′(x)=3xln3+cosx.当x∈[0,π]时,3xln3>1,-1≤cosx≤1,即f′(x)>0.所以f(x)递增,于是f(x)min=f(0)

8、=1.答案:16.函数f(x)=xe-x,x∈[0,2]的最大值是______. 【解析】f′(x)=′==,当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(1,2]时,f′(x)<0,f(x)是减函数.所以f(x)的最大值为f(1)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知函数f(x)=x3+ax2+2,且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称.(1)求导函数f′(x)及实数a的值.(2)求函数y=f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.【解析】(1)由f

9、(x)=x3+ax2+2得f′(x)=3x2+2ax.因为f′(x)的图象关于直线x=1对称,得-=1.所以a=-3,f′(x)=3x2-6x.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x.令f′(x)=0得x1=0,x2=2.当x在[-1,2]上变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)+0-0f(x)-2↗2↘-2由表可知,当x=-1或x=2时,函数有最小值-2,当x=0时,函数有最大值2.8.(2020·济南高二检测)已知函

10、数f(x)=ex-ax,x∈R,e是自然对数的底数.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求a的值及f(x)的极值.(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.【解析】(1)函数f(x)=ex-ax,x∈R,所以f′(x)=ex-a,因为函数f(x)在x=2处取得极值,所以f′(2)=0,所以a=e2,所以f′(x)=ex-e2,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f