射洪中学高2014级高一数学奥赛平面向量专题.doc

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1、射洪中学高2014级高一数学奥赛平面向量专题空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1）共线向量定理：存在唯一的实数使得．（2）平面向量基本定理：

2、设向量为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数对使得．（3）若，则三点共线的充要条件是．定比分点公式：若点在直线上，且，为任意一点，则．（4）对于向量，．（5）设为两个向量，则，．（6）两向量的夹角公式：；向量模长公式：；（7）三角形中“四心”的向量形式：重心：若为的重心，则；垂心：若为的垂心，则(1)；(2)；外心：若为的外心，则；结合垂心有：；内心：若为的内心，则．二、赛题分析：§１几何中的运用例1、在ABC所在平面有一点P满足，则ABC与PBC的面积之比为变1.

3、（2004年全国高中联赛）设点在的内部，且有，则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【拓展】命题：设点在的内部，则成立的充要条件是．推论：设点在的内部，若，若7(1)，则为的重心，反之也成立；(2)，则为的外心，反之也成立；(3)，则为的内心，反之也成立；(4)，则为的垂心，反之也成立．注：由平面向量基本定理知，对于给定的内部的任意一点，中的的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．设点在内部，且，则的面积与的面积之比是：DA．2：1B．3：1C．4：3D．3：2已知内接于

4、以O为圆心，1为半径的圆，且(1)求数量积（2）求的面积例2.四心1、若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心归纳：G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.变式：已知分别为的边的中点．则．　变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则2、若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．

5、重心例1：（2003年全国高考题）7是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的(C )A.外心B.内心C.重心D．垂心（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三

6、角形ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出故选答案D例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上故选答案D若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。O是三角形ABC中的外心，平面上一点P满足则P为三角形的(  )A.外心B.内心C.重心D.垂心O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC的角，若sinA·+sinB·+sinC·，则点O为

7、△ABC的___________心.6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的(B  )A.外心B.内心C.重心D.垂心77．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过△ABC的(B)A.外心B.内心C.重心D.垂心9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=1ABCMNG图111.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。证点G是△ABC的重心，知，得，有。又M，N，G三点共线(A不在直线M

8、N上)，于是存在λ，μ，使得，有=，得，于是得。例3、2．在△ABC中，，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.4．若O为△ABC的内心，且，则△ABC的形状为__________.若O为△ABC所在平面上的一点且满足

9、

10、=

11、

12、,则△ABC的形状为8.非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为(D)A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D．等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=