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1、《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D、E、F分别是AABC三边（或其延长线）上的三点，则D、E、F三点共线的充要条件是———=loDBFCEA2、塞瓦定理:设D、E、F分别是ABC三边（或其延长线）上的三点，则AF、BE、CD三点共线的充要条件是———DBFCEA3、托勒密定理:四边形ABCD内接于圆的充要条件是ACBD=ABCD+BC-CD4、西摩松定理：设P是ABC外接圆上任一点，过P向AABC的三边分别作垂线，设垂足为D、E、F,则D、E、F三点共线。r5、斯德瓦特定理：设P是AABC的边BC边上的任一点，则BP•AC2+P
2、C•AB2=BC-AP2+BPPCBC7、共边定理：设AABC和AA矽C'中有一个边相等，则ABACSmbc6、共角定理：设ABC和AA'B'C'屮有一个角相等或互补（不妨设A二崔）则—人从AC举例说明:1、设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上的点，且AM:AC=CN:CE二k,如果BMN三点共线，试求k。(IMO23J982)B2、在四边形ABCD中，AABD.BCD.ABC的面积Z比为3：4：1,点M、N分别是AC、CD±的点，且AM:AC二CN:CD并且BMN三点共线，求证：M、N分别是AC、CD的屮点。(1983,全国高屮数学联赛试题)BM3、在四边形
3、ABCD中，对角线AC平分ZBAD,在CD±取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：ZGAC=ZEAC（1999,全国高中联赛试题）4、设G是AABC内一点，直线AG、BG、CG分ABC为六个小三角形，其中3个小三角形的而积己在图中标出，求ABC的面积。（美国第3届邀请赛第6题，1985）5、设AF、BE、CD分别是ABC的内角平分线、中线、高线，且AC=b,AB=c求证：AF、BE、CD相交于一点的充要条件是cosA=—J。（美国试题1984年）b+cD6、如果四边形两组对边延长后相交，且交点的连线平行它的一条对角线，试证：另一对角线的延长线平分对边交点的连线
4、。（1978年全国高中数学联赛）7、在ABC外作三个具有相同底角的等腰三角形BCA；CAB；ABC',求证：AABBCCf共点。（第4届数学奥林匹克选拔赛试题）A18、在中，ZBAC=90°,G为AB±给点的一点（G不是AB的中点），设D是直线GC上与GC都不同的一点，并且直线AD、BC交于E,BD、AC交于F,直线EF、AB交于H,试证明：交点H与D在直线CG±的位置无关。（1990年苏州市高屮竞赛题）9、设A是锐角ABC的内接正方形的中心，其屮内接正方形的两个顶点在BC边上，一个顶点AB边上，一个在AC边上，同样定义两个顶点分别在AC、AB边上的内接正方形的屮心分别为B“
5、G，证明：交于一点。10、在AABC屮ABvBC,D在BC上，E在AB的延长线上，且BD=BE=AC,BDE的外接圆与ABC的外接圆相交于F,求证：BF二AF+CF（1991年全国初中数学联赛）F11、设P是正方形ABCD外接圆的AB弧上任一点,12.在ABC中，AB=AC=2,BC边上有100个不同的点=12…100),记100=AP^+BP：•RC,求的值。f=l13、在AABC中，AB二5.AC=7,BC=9,在BC上取一点D,且AB二AD,求BD:DC。专题二、平面几何之解题策略一、广泛地联想，全面地设想想象是指在头脑屮对已有的表象进行组合和改造产生新的表象的思维过程。
6、想象的重要性在于它是创造性思维的重要组成部分。马克思高度评价“想象是促进人类发展的伟大天赋”，爱因斯坦曾这样谈到：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，是知识进化的源泉”。(1)广泛地联想：根据条件或图形的特征，由此及彼地联想到某些定义、定理、图形。例1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若角ABC的大小成等比数列，并且b2-a2=ac,求角B。(1985年全国高中数学联赛)(2)全面地设想：设想是指对同一问题从不同角度去观察、思考和分析其特征，推测其解题的大致方向。例2、在AABC中，AB=AC,D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点，
7、且ZBED=2ZCED=ZBAC,求证：BD=2CD(1992年全国初中数学联赛)二、变易证题，促成转化欲证”AtB”成立，可先将结论B转化为(B与等价，或X是B的充分条件),然后证”At皮”成立。(1)相等问题：欲证沪b,可找屮间变量c,使c二a,再证c二b,或作c=a,d=b,再证c二d。(2)和差问题：欲证a=b+c,可先作p二b+c,再证a二p,或作p=a-b,再证p二c(取长补短)。(3)倍分问题：欲证a=nb,可先作p=nb,再证a二p,或作p
