数学奥赛教练员培训班讲义(平面几何)

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1、数学奥赛教练员培训班讲义（1）第一讲平面几何平面几何是数学竞赛中的一个基本内容。它以严密的逻辑结构、灵活的证题方法，在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力等方面起着特殊的作用。因此在数学竞赛中平面几何的内容占有十分突出的地位。平面几何主要研究度量关系的证明、位置关系的证明、面积关系解题、几何量的计算、轨迹问题等。一、与三角形有关的重要定理1.梅涅劳斯定理一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则。说明：（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。（2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值

2、为1的等式。（3）其逆定理为：如果D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线上），并且，那么D、E、F三点在同一条直线上。（4）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。2.塞瓦定理设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D，E，F，则。说明：（1）该定理可借助于梅氏定理来证明（也可用面积法来证明）。如果O点在三角形外，结论仍然是成立的。8（2）其逆定理为：分别在△ABC三边（所在直线）BC、CA、AB上各取一点D、E、F，若有，则AD、BE、

3、CF平行或共点。（3）塞瓦定理及其逆定理是证明三直线交于一点（线共点）问题的重要定理，应用塞瓦定理很容易证明三角形中的主要线段的共点问题。3.三角形的五心三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离。此公式称为欧拉式，由此还得到。当且仅当△ABC为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R和r分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。二、与圆有关的重要定理4.四点共圆的主要

4、判定定理（1）若∠1=∠2，则A、B、C、D四点共圆；（2）若∠EAB=∠BCD，则A、B、C、D四点共圆；（3）若PA•PC=PB•PD，则A、B、C、D四点共圆；（4）若AB•DC+AD•BC=AC•BD，则A、B、C、D四点共圆。5.西姆松定理过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（称为西姆松线）。说明：（1）其逆定理为：若一点到三角形三边8所在直线的垂足共线，则该点在三角形的外接圆上。（2）推广（卡诺定理）：通过△ABC外接圆上的一点P引与三边BC、CA、AB分别成同向等角的直线PD、PE、PF，分别与三边交于D、E、F，则D、E、F三点共线。6.托勒密

5、定理若四边形内接于一圆，则该四边形的两对边乘积之和等于它的对角线乘积。说明：（1）其逆定理为：若四边形两对边乘积之和等于它的对角线乘积，则该四边形内接于圆。（2）推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，恒有两对边乘积之和大于或等于它的对角线乘积。三、典例例1.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA到D，以AD为直径作圆O，边BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么=（）A．1B．C．D．2例2.（08年联赛）如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为（）.4...例3.三角形ABC为锐角三角形,AD为该三角形的一条高.设P为

6、线段AD上一点,直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F，证明：DA平分∠EDF。8例4.设A,B,C顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA,PC,PB上的点,线段AC,CB对点P的张角分别为α,β,且α+β<180°,则A,B,C三点共线的充要条件是:.例5.设△ABC是等边三角形,P是其内部一点,线段AP、BP、CP的延长线依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点.证明:A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A.例6.（蝴蝶定理）已知M是⊙O的弦AB的中点,过M任作两弦CD,EF,连CF,DE分别交AB于G,H,求证:MH=MG.例7.在△ABC的A

7、C边上取点D、E,使得AD=AB,BE=EC(E在A与D之间),F是△ABC外接圆上(不含A点的)BC弧的中点.证明:B、E、D、F四点共圆.8例8.（03年联赛）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B。所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间。在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC。求证:∠DBQ=∠PAC。例9.（2000年联赛）在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作EMAB于M，FNAC于N，延长交三角形ABC的外接圆于点。证明:四边形的面积与△ABC的面积相等。例