高考数学第一轮复习---函数最值的应用

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1、高考数学第一轮复习---函数最值的应用一、最值综合与应用问题：（一）知识归纳：1．最值综合问题：这是中学数学最重要的题型之一，题型非常广泛.①几何图形的最值问题：在平几、立几、解几图形中求解面积、体积、距离及各种几何量的最大、最小值；②代数中的最值问题：求解方程（或不等式）的最大、最小解，数列的最大、最小项，变量或代数式的最大、最小取值，等等；2．最值应用问题：这是应用问题中最典型的内容，如求解利润、费用的最大与最小，用料，时间最少，流量、销量最大，选取的方法最多、最少等，都是常见的应用问题。（二）学习要点：在中学数学范围内，最值综合与应用问题几乎都要运用函数的思想

2、与方法解决，解答程序是：①正确选择变量作自变量，根据问题的条件将问题转化为函数，建立函数的解析式，并求函数的（实际型）定义域；②求函数的极值，并结合函数的定义域得到函数的最值；③如果函数的解析式中含有参数，注意可能要对参数的取值进行讨论（讨论极值点是否在定义域内）【例1】如图，扇形AOB的半径为1，中心角为45°，矩形EFGH内接于扇形，求矩形对角线长的最小值.[解析]这是一道高考题，需要用函数思想解决它，但是取什么量作自变量是解决这个问题的关键，应反复斟酌.根据这个问题的图形特点，取将对角线长表示成这个角的函数是比较好的想法.所以，当时，地址：西安经济技术开发区凤

3、城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第10页共10页[解法二]设矩形的高∴矩形的宽∴对角线令令在的左、右两侧取定义域内两点，如取得∴的值在处左负右正，.[评析]该问题的难点是正确选择自变量,上面两种解法各有优缺点,解法一虽然简单些,但选择”角”作自变量有时会涉及到过多的三角知识,在许多情况下会出现困难的运算,应慎重;解法二选择矩形的边长为自变量的想法要常规一些.【例2】已知正四棱锥边长为3，求它的体积的最大值.[解析]设底面边长为，且左正右负，∴当.地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第10页共1

4、0页(初等方法)等号成立时,[评析]立体几何中的最值综合问题是高中数学中的一种重要题型,在立几的复习中将会作更多的讨论.【例3】设是定义在上以2为周期的周期函数,且为偶函数,已知在区间[2,3]上=－2(－3)2+4,（Ⅰ）求时的解析式；（Ⅱ）若矩形ABCD的两个顶点A、B在轴上，另两个顶点C、D在函数的图象上，求这个矩形面积的最大值.[解析]（Ⅰ）设（Ⅱ）设则，当设∴矩形ABCD面积令且左正右负，[评析]这是代数与几何的综合型的最值问题，由于这种问题能综合考核较多的数学能力，因此这是常见的试题形式，在该问题中求的值域时，换元这一步是很重要的想法，这样大大降低了运算

5、量.【例4】一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有的面积，问应如何设计十字型宽及长地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第10页共10页，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.[解析]设由条件知:即设外接圆的半径为R，即求R的最小值，等号成立时，∴当时R2最小，即R最小，从而周长最小，此时[评析]这是最值的应用问题，在函数型的应用问题中，最值应用问题占了很大的比例，也是紧常见的应用题的试题形式，应多加强这方面的训练.二、最值在参数讨论中的应用（一）知识归纳：1．“恒成立”问题

6、：“设函数的定义域为区间D，①若对恒成立②若对恒成立2．“存在”问题：设函数的定义域为区间D，①若存在，使得②若存在，使得（二）学习要点：1．“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路：①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值；②“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值.2．必须注意，如果在定义区间D上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将“＜（＞）”改为“≤（≥）”.地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城

7、A座10层电话：029-86570103第10页共10页3．在具体的问题中，“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意…总有……”，“无论…都有…”等等；而“存在”的等价说法有“不等式在D内有解”，“集合”等多种形式，注意总结经验.【例1】不论实数取何值,直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围.[解析]曲线的公共点为方程组的解,命题最终化归为二次方程的判断式“对恒成立”.联立（1）若，显然当时方程无解，命题不成立；（2）若方程为一元二次方程，则恒成立，[评析]这是高考中的一道基础型试题，如果对“恒成立”的概念与方法很熟悉，