2012年高考第一轮复习数学：2.10 函数的最值

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1、2.10函数的最值●知识梳理求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为

2、三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.（6）函数的单调性法.●点击双基1.（2003年春季北京）函数f（x）=的最大值是A.B.C.D.解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=.答案：D2.若x2+y2=1，则3x－4y的最大值为A.3B.4C.5D.6解析：∵x2+y2=1，∴可设x=cosα，y=sinα.∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5.答案：C3.（2004年春季安徽）函数y=－x（x≥0）的最大值为__________________

3、_.答案：4.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________.解析：∵x＞0，y＞0，∴3x·2y≤（）2＝62xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）.答案：65.函数y=

4、x－1

5、+

6、x－3

7、的最小值是______________.解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=

8、x－1

9、+

10、x－3

11、=

12、PA

13、+

14、PB

15、≥

16、AB

17、=2.答案：2●典例剖析【例1】（2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m

18、2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）解：由题意得x·y+·x·=8，∴y==－（0＜x＜4）.于是，框架用料长度为L=2x+2y+2（）=（+）x+≥2=4.当且仅当（+）x=，即x==8－4时，等号成立.此时，x≈2.343，y=2≈2.828.故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省.【例2】设f（t）=g（t）=－t+（0≤t≤40，t∈N*）.求S=f（t）g（t）的最大值.解：当0≤t＜20时，S=（t+11）·（－t+）=－（t+22）（t－43）.∵=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.当

19、20≤t≤40时，S=（－t+41）（－t+）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.综上所述，S的最大值是176.【例3】设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值，求这时a和x的值.解：原式可化为logax＋－＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－）2＋，知当logax＝时，logay有最小值.∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a.根据题意有a＝a＝.这时x＝a＝（）＝.评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展已知f（x

20、）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.∴当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13.答案：当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13.●闯关训练夯实基础1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是A.增函数且最小值是－1B.增函数

21、且最大值是－1C.减函数且最小值是－1D.减函数且最大值是－1解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1.答案：B2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=.∴S正=（）2=，S圆=π·.∴S正+S圆=（0＜x＜1）.∴当x=时有最小值.答案：3.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使

22、f（x）

23、≤M

24、x

25、对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数

26、：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）；④f（x