专题2.3 极值点处单调变，导数调控讨论参-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．[来源:学,科,网]（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不

2、等式)，进而确定参数的取值或范围．【典例指引】例1．已知函数，．（1）求函数的极值；【思路引导】试题分析：（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；当，，在上单调递减；当，，在上单调递增．故在处取得极小值，且极小值为，无极小值．综上，当时，函数无极值；学*科网当时，有极小值为，无极大值．点评：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的

3、解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节．例2．已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；[来源:学#科#网]（2）讨论函数的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【思路引导】（1）欲求曲线在点处的切线方程，只需求出斜率和和的值，即可利用直线的点斜式方程求解切线的方程；（2）求出，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可，可分两种情况，求出函数的单调区间，得出函数的极值．点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，本题的解答

4、中涉及利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性和极值，求解函数的单调区间，涉及到分类讨论的数学思想的应用，熟记利用导数研究函数的性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．例3．已知，其中．（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（2）求的极值；（3）若函数有两个极值点，，证明．【思路引导】（Ⅰ）当a=0时，求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得有两个不同的实根，讨论当a≤0时，当a

5、>0时，判断单调性可得极大值大于0，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，，构造函数对不等式进行证明．②当时或，．在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极大值，且，在时取到极小值，且；③当时恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；④当时或，，在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且．在时取到极大值，且．综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；当时，在时取到极大值，在时取到极小值；当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值．在时取到极大值．学*

6、科网（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，且．所以，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，由且可得，所以，即．学*科网点评：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．例4．已知函数，．（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导

7、数，转化研究函数，利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况．（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点．学*科网【新题展示】1．【2019湖北仙桃、天门、潜江期末】已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）当时，求证：时，；（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.【思路引导】（Ⅰ）求出，令，求出，从而判断的单调性，由即可判断的正负情况，从而求得在递减，递增；当时，成立，命题得证。（Ⅱ）对的范围分类讨论，由的单调性求得，把看作变量，求得的单调性，从而得到（当且仅当时取等号），

8、再对的范围分类讨论的单调性，从而判断的单调性，从而求得极值点个数。【解析】(Ⅰ)由，易知，设，则，当时，，又[来∴时，，时，，即在递减，递增；所以当时，得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，当且仅当在处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为1；当时，易知在递减，递增，所以，又设，其中，则对恒成立，所以单调递减，（当且仅当时取等号），所以当时，即在单调递增，故此时极值点个数为0；2．【2019山东枣庄期末】已知（I）求函数的极值；（II）设，若有两个零点，求的取值范围．【思路引导】（I）求得函数的，将