专题2.4 极值计算先判断，单调原则不能撼-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．【典

2、例指引】例1．已知函数其中⑴当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.zxxk.c.o.m⑵当时，求函数的单调区间与极值.②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗学科&网例2．已知函数的图象在处的切线过点，.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【思路引导】（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得.，又，可得，则，可得函数的极值点.（2）由题是方程的两个根，则，，由，可得，，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得，

3、令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证.（2）∵是方程的两个根，∴，，∵，∴，，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，∴，∴学科&网例3．已知函数在处有极值10.（1）求实数的值；（2）设，讨论函数在区间上的单调性.【思路引导】（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性．（2）由（1）可知，∴学科&网当变化时，的变化情况如下表：[来源:学科网]1+0-0+增极大减极小[来源:学科

4、网]增⑤当时，在区间上单调递增.综上所述：当或时，在区间上单调递增；当时，在区间上上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.学科&网点评：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误．（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况．【新题展示】1．【2019浙江七彩联盟期中】已知函数．证明：函数存在唯一的极值点，并求出该极值点；若

5、函数的极值为1，试证明：．[来源:学科网]【思路引导】根据导数和函数的极值的关系即可证明，证明，只要证，令，利用导数和函数的最值得关系，和函数零点的存在定理，以及利用反证法即可证明．【解析】由可得，，要证明，只要证，令，，易知在上单调递增，且当时，，当时，，存在唯一的实数，使得，即，即，，[来源:学科网]在单调递减，在单调递增，，下面证明，利用反证法，假设，，即，即，，则由可知，这与矛盾，，即，故．2．【2019北京石景山区期末】已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，若有极小值，求实数a的取值范围．

6、【思路引导】（1）将代入，再对函数求导，求出切线斜率，进而即可得出结果；（2）对函数求导，通过讨论的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果.【解析】令，解得．x，g（x），的变化情况如下表：x（0，a）a（a，+∞）﹣0+g（x）减极小值lna+2增①若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意．②若，即时，，．所以，使得；且当时，，当时，．所以当时，x，，f（x）的变化情况如下表：﹣0+f（x）减极小值增所以．3．【2019河南驻马店市期末】已知函数（1）求函数的单调区间和的极值；（2）对于任意的，，都有，求实

7、数的取值范围.【思路引导】（1）对f（x）求导，再求导，得到二次导数恒大于0，又，得到及的x的范围，即可得到函数的单调区间及极值.（2）由题意，只需，结合（1）可得最小值为，比较与得到最大值，可求得结论.【解析】（2）依题意，只需由（1）知，在上递减，在上递增，∴在上的最小值为；最大值为和中的较大者而，【同步训练】1．设，.（1）令，求的单调区间；[来源:学科网ZXXK]（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.【思路引导】（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的

8、增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值讨论即可得出单调区间；（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围（2）由（1）知，.①当a时，单调递增.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.②当时，，由（1）知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在内单调递减，在内