第六章 6.4.3 第1课时.docx

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1、本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享6.4.3　余弦定理、正弦定理第1课时　余弦定理学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一　余弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC推论cosA＝，cosB＝，cosC＝思考　在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式会变成什么

2、？答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.知识点二　余弦定理可以用于两类解三角形问题1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.知识点三　解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　×　)2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.(　√　)3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　√　)4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　×　)一、已

3、知两边及一角解三角形例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，所以a＝.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由余弦定理cosA＝＝0，A＝90°，C＝60°.反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先

4、判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.跟踪训练1　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝；sinA＝.答案　2　解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，所以sinA＝＝.二、已知三边解三角形例2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.解　∵a>c>b，∴A为最大角.由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝－.又∵0°

5、A＝120°，∴最大角A为120°.反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.解　易知a

6、　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2

7、所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccosA＋cacosB＋abcosC，则△ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案　直角解析　由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三条边长为(　　)A.52B.2C.16D.4答案　B解析　设第三条边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2.2.在△