第六章 6.4.3 第3课时.docx

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1、本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享第3课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.知识点一距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理先用正弦定理，两个不可到达的点之间的距离再用余弦定理知识点二高度问题类型简图计算方法测得BC＝a，∠BCA＝C，AB底部可达＝a·tanC.测得CD＝a及C与∠ADB的点B与C，度数.D共线先由正弦定理求出AC

2、或AD，再解三角形得AB的值.底部不可达测得CD＝a及∠BCD，∠点B与C，BDC，∠ACB的度数.D不共线在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.知识点三角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.(

3、√)2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.(√)3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.(√)4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.(√)一、距离问题例1如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则BC为m.答案60(6－2)解析由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，AB120由正弦定理，BC＝·sin∠CAB＝·sin30°sin∠ACBsin7

4、5°1201＝×＝60(6－2).6＋224反思感悟求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.跟踪训练1A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7km，CB＝5km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为km.答案39解析由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC221＝7＋5－2×7×5×2＝39.∴AB＝39.二、高度问题例2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°

5、，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A.10mB.102mC.103mD.106m答案D解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCCD由正弦定理，得＝，sin∠BDCsin∠DBC10sin45°BC＝＝102(m).sin30°AB在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BC×tan60°＝106(m).BC反思感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物

6、”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.跟踪训练2某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为m.(精确到1m)答案811解析如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ADB1000×sin135°AB＝

7、＝＝10002(m).sin∠ABDsin30°在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m).所以山的高度为811m.三、角度问题例3甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝3at海里，B＝90°＋30°＝120°，BCAC由＝，sin∠CABsinB3BCsinBat×sin120°21得sin∠CAB＝＝＝＝，AC3at

8、32∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.跟踪训练3当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是()A.15°B.30°C.45°D.60°答案B解析设竹