第六章 6.4.3 第2课时.docx

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1、第本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享2课时　正弦定理学习目标　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即＝＝.知识点二　正弦定理的变形公式1.a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2.sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆的半径).思考　在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外

2、接圆的直径有什么关系？答案　等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.1.正弦定理对任意的三角形都成立.(　√　)2.在△ABC中，等式bsinC＝csinB总能成立.(　√　)3.在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　×　)4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.(　×　)一、已知两角及任意一边解三角形例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.解　根据正弦定理，得b＝＝＝10.又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝＝20.反思感悟　(1)正弦定理

3、实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.跟踪训练1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.解　因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得＝＝，解得a＝＝4，c＝＝2(＋).二、已知两边及其中一边的对角解三角形例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.解　∵＝，∴sinC＝＝＝，∵0°

4、C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.延伸探究若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？解　∵＝，∴sinA＝＝＝.∵c＝>2＝a，∴C>A.∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.反思感悟　这一类型题目的解题步骤为①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边.其中进行①时要注意讨论该角是否可能有

5、两个值.跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由正弦定理，得＝，即＝，解得sinC＝，∵AB

6、断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝；(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①sinA＝，sinB＝，sinC＝(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝.跟踪训练3　在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)A.直角三角

7、形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形答案　B解析　方法一　(利用边的关系进行判断)由正弦定理和余弦定理，2sinAcosB＝sinC可化为2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形.方法二　(利用角的关系进行判断)因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B).由2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0.因为－

8、π