2020-2021学年人教A版必修二高一数学学案6.4.3 第1课时 余弦定理.docx

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1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理【学习目标】素养目标学科素养1.了解余弦定理的推导过程；2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用；3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理.【自主学习】一．余弦定理文字语言三角形中任何一边的，等于其他两边减去这两边与它们夹角的符号语言a2＝；b2＝；c2＝推论cosA＝；cosB＝；cosC＝．二．余弦定理及其推论的应用1.利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2>a2＋b2⇔C为；c2

2、．2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．（1）已知三边，求．（2）已知及，求第三边和其他两个角．【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　)(2)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　)(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　)(4)在△ABC中，已知三个元素可求其余三个元素．(　　)(5)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)【经典例题】题型一已知两

3、边及一角解三角形点拨：必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．例1在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a.【跟踪训练】1在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形.题型二已知三边(三边关系)解三角形已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单

4、调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.例2已知△ABC中，a：b：c＝2：：(＋1)，求△ABC的各内角度数．【跟踪训练】2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)A．45°B．60°C．90°D．135°题型三判断三角形的形状点拨：利用余弦定理判断三角形形状的两种途径（1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．（2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．例3在△A

5、BC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．【跟踪训练】3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，b＝3c，试判断△ABC的形状．【当堂达标】1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　　)A.B.C.D.或2.在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　)A．4B．8C．4或8D．无解3.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)A．90°　B．60°C．120°D．150°4.在△ABC中，角A，B，C所对

6、边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝.5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cosA＝________.6.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．【课堂小结】1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．2.主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化，适用于解三角形．【参考答案】【自主学习】平方平方的和余弦的积的两倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC直角钝角锐角三角

7、两边一角【小试牛刀】(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√【经典例题】例1解由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，所以a＝.【跟踪训练】1解根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos45°＝8，∴b＝2.又∵cosA＝＝＝，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.例2解∵a：b：c＝2(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．由余弦定理的推论得：cosA＝＝＝，∴A＝45°，

8、cosB＝＝＝，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.【跟踪训练】2A解析：由已知得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝＝.又0°＜B＜180°，所以B＝45°.例3等腰三角形解析：∵a＝2bcosC＝2b·＝，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形．【跟踪训练】3解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2b