2020-2021学年人教A版必修二高一数学学案6.2.4 向量的数量积.docx

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1、6.2.4向量的数量积【学习目标】素养目标学科素养1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点）3.理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理。【自主学习】一．两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a与b；②当θ＝时，向量a与b，记作a

2、⊥b；③当θ＝π时，向量a与b．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．二．向量的数量积已知两个向量a与b，我们把数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做向量a与b的(或)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ(θ为a，b的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为.注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定

11、：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．三．投影向量若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为

12、a

13、cosθe.当θ＝0时，投影向量为；当θ＝时，投影向量为；当θ＝π时，投影向量为.四．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝.(2)a⊥b⇔．(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．特别地，a·a＝或

14、a

15、＝.(4)

16、a·b

17、≤

18、a

19、

20、b

21、

22、.(5)cosθ＝，其中θ是非零向量a与b的夹角．数量积的性质的应用:性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题；性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式．五．向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则(1)交换律:；(2)数乘结合律：；(3)分配律：.注意:(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量

23、，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)推论：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)(2)若a·b＝0，则a与b至少有一个为零向量．(　　)(3)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　)(4)若a·c＝b·

24、c(c≠0)，则a＝b.(　　)(5)对于任意向量a，都有a·a＝

25、a

26、2.(　　)(6)a，b共线⇔a·b＝

27、a

28、

29、b

30、.(　　)【经典例题】题型一求平面向量的数量积点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．例1　已知

31、a

32、＝5，

33、b

34、＝4，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．【跟踪训练】1如图，在▱ABCD中，

35、

36、

37、＝4，

38、

39、＝3，∠DAB＝60°，求：(1)·；(2)·.题型二求向量的模点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用a·a＝a2＝

40、a

41、2或

42、a

43、＝．例2已知平面向量a与b的夹角为60°，

44、a

45、＝2，

46、b

47、＝1，则

48、a＋2b

49、＝。【跟踪训练】2已知向量a与b的夹角为45°，且

50、a

51、＝1，

52、2a＋b

53、＝，则

54、b

55、＝________.题型三求两向量的夹角点拨：求向量a与b夹角的关键是计算a·b及

56、a

57、

58、b

59、，利用cosθ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．　在个别含有

60、a

61、，

62、b

63、与a·b的等量关系中

64、，常利用消元思想计算cosθ的值．例3(1)已知

65、a

66、＝6，

67、b

68、＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)已知非零向量a，b满足

69、a

70、＝2

71、b

72、，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．【跟踪训练】3已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．题型四利用向量垂直求参数点拨：常用向量数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0解决向量垂直问题，应熟练掌握.例4已知a⊥b，

73、a

74、＝2，

75、b

76、＝3，则当k为何值时，向量